Угловой импульс. Большая энциклопедия нефти и газа. Постулаты специальной теории относительности
ЛЕКЦИЯ №8
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
Поле центральной силы характеризуется тем, что потенциальная энергия частицы зависит лишь от расстояния r до некоторой точки, называемой силовым центром, то есть U =U (r ). Задачи о движении частицы в поле центральной силы являются основополагающими в квантовой механике.
Таким образом, эта чисто формальная структура устраняет допустимые значения полного углового момента и любой измеряемой составляющей. Но есть и другие вещи, которые нам нужно знать: например, как электрон в определенном состоянии углового момента в атоме, затронутом внешним полем?
Чтобы вычислить это, нам нужно знать волновую функцию ψ. Напомним, что коммутирующие эрмитовы операторы могут быть диагонализованы одновременно и, следовательно, имеют общий набор собственных множеств. К счастью, многие интересующие нас системы имеют сферическую симметрию, по крайней мере, в хорошем приближении, основным примером, конечно же, является атом водорода, поэтому естественный набор базисных состояний является общими собственными типами энергии и углового момента. Оказывается, что даже когда сферическая симметрия нарушается, собственные числа углового момента могут быть полезной отправной точкой, с обработкой симметрии, обработанной с использованием теории возмущений.
Движение частицы по прямой характеризуется импульсом. При отсутствии внешних воздействий на частицу или систему свободно движущихся частиц импульс сохраняется, то есть
а его величина, как собственное значение оператора импульса, может принимать любые значения.
Если частица движется по криволинейной замкнутой траектории, ее движение характеризуется моментом импульса :
Постулаты специальной теории относительности
В качестве разминки для усложнений трехмерной сферически-симметричной модели стоит проанализировать двумерную циркулярно-симметричную модель, т.е. Оператор двумерного углового момента равен. Это простое упражнение, чтобы проверить, что для циркулярно-симметричного гамильтониана выше.
Чтобы воспользоваться круговой симметрией, мы переключаемся на круговые переменные, где. Преобразуя гамильтониан и угловой момент в координаты. Упражнение: проверьте эти результаты! Интересно отметить, что это был бы полный набор волновых функций для частицы, ограниченной кольцом, скорее, как исходные орбиты Бора. Фактически, нанотехнические кольца, в которых электроны имеют волновые функции, подобные этому, могут быть изготовлены.
В классической механике эта величина также сохраняется (является интегралом движения) и может принимать произвольные значения. Например, при движении спутника по высокоэллиптической орбите импульс не сохраняется, так как скорость спутника меняется в зависимости от расстояния до Земли, но момент импульса сохраняется.
В квантовой механике момент импульса «квантуется», то есть может принимать только дискретные значения, пропорциональные постоянной Планка , имеющей размерность момента импульса. Это было гениальной догадкой Н.Бора, которую он ввел, как постулат. Покажем это, исходя из других, принятых позднее, постулатов квантовой механики.
Очевидно, что общие собственные состояния гамильтониана и момента импульса имеют вид. Его называют «центробежным барьером» и его легко понять из классической механики. Но как насчет радиальной части? Но радиальная волна немного отличается: изобразите волну фотонов, выходящую из одной узкой щели, то есть щель, имеющую ширину, значительно меньшую длины волны фотона. Фотонная волна будет излучаться наружу с равной амплитудой во всех направлениях, но амплитуда волны будет уменьшаться с расстоянием от щели, чтобы сохранить вероятность.
Мы знаем, что если мы измерим импульс фотонов на разных расстояниях от щели, мы получим тот же результат. Длина волны определяет импульс фотона и не меняется. К счастью, это легко исправить: мы определяем оператор. Однако все еще существует небольшая проблема.
В квантовой механике оператор момента импульса определяется в соответствии с третьим постулатом по классическому выражению (8.1) и имеет вид:
Как у вектора из (8.1) есть компоненты М х , М у и М z , так и у оператора определяются операторы проекций на оси координат , задаваемые формулами проекций векторного произведения:
Это почти - но не совсем - то же самое, что и найденное нами преобразование из декартовых координат. На самом деле наша первая была правильной - эта вторая, полученная непосредственно из классического гамильтониана, дает тот же результат в классическом пределе, потому что разница между ними исчезает при ℏ → 0. Мы заключаем, что начиная с классического гамильтониана и заменяя динамические переменные соответствующими квантовыми операторами, не может гарантировать, что мы получим правильный квантовый гамильтониан: он может быть отключен некоторым членом порядка ℏ.
(8.3)
.
Нетрудно показать, что проекции оператора момента не коммутируют друг с другом:
, (8.4)
Это станет очевидным при прогнозировании свойств действительно квантовых систем, таких как уровни атомной энергии. Чтобы добиться дальнейшего прогресса в поиске волновой функции, нам нужно знать потенциал. Конкретные примеры будут проанализированы со временем. Представление многоэлектронных волновых функций в плоскости таким образом было ключом к пониманию квантового эффекта Холла. Угловой момент - это векторная величина, которую мы используем в физике для характеристики состояния вращения тел. В этом разделе мы рассмотрим следующие моменты.
а два других коммутатора получаются циклической перестановкой координат. Это означает, что они одновременно не измеримы , то есть, если определена или задана одна проекция оператора момента, то две других проекции не имеют определенного значения.
Определим также оператор квадрата момента импульса:
Векторные угловые величины
Кроме того, вы можете быть заинтересованы в углублении концепции твердого тела. Прежде чем мы начнем заниматься угловым моментом, мы должны говорить о согласии, которое мы следуем, когда мы рассматриваем угловые величины как векторы. Чтобы точно и согласованно описывать поведение тел при их вращении, мы должны представить кинематические угловые величины в виде векторов. Для этого мы должны достичь какого-то согласия по направлению и значению, которое эти величины будут представлены, поскольку они так же ясны, как случай линейной скорости, например, или сила, действующая на частицу.
Но этот оператор, как нетрудно показать, коммутирует с любым оператором проекции:
, (8.6)
что означает их одновременную измеримость, а также наличие общей системы собственных функций. Таким образом, если измерена (задана) одна проекция момента импульса на некоторую выбранную ось, то две других проекции могут иметь любые значения. То есть, как и должно быть в соответствии с принципом неопределенности, невозможно точно задать пространственную ориентацию вектора момента импульса, а лишь можно сказать, что он локализован в пределах некоторой конической поверхности (см. ниже рис. 8.1).
Мы будем рассматривать геометрический центр как точку приложения и ось вращения как направление. Чувство вектора меняется в зависимости от величины, которую мы рассматриваем. Кроме того, мы можем связать предыдущие угловые величины с линейной мгновенной скоростью и тангенциальным ускорением с помощью следующих выражений.
Угловой момент материальной точки
- Он также известен как линейный момент.
- Поэтому его единица измерения в Международной системе составляет кг м с -1.
Вращательное движение удобнее описывать в сферической системе координат. Переход из декартовой системы в сферическую дается формулами:
тогда операторы проекций момента и квадрата момента имеют вид:
(8.7х)
Чтобы хорошо понять эту идею, мы представим новую величину: момент инерции. Мы можем определить его для конкретного случая круговых движений. Можно также сказать, что это модуль вектора положения тела относительно центра вращения. Мы можем связать момент инерции точечной частицы круговым движением с ее угловым моментом. Помните, что вектор положения тела, вращающегося круговым движением относительно центра вращения указанного движения и вектора скорости, составляет угол 90º. Тогда из выражения момента количества движения можно написать.
(8.7у)
(8.7z)
где оператор называется сферическим оператором Лапласа. Все эти операторы не действуют на координату r , а действуют только на угловые координаты, следовательно, их собственные функции могут зависеть только от угловых координат, то есть
Угловой момент и момент инерции твердого тела
Оставшиеся в векторной нотации. Там, где мы учли, что угловая скорость считается аксиальным вектором, перпендикулярным плоскости вращения и направлением, определяемым правилом правой руки. В прямолинейных движениях, чем больше масса тела, тем труднее изменить его линейный импульс. Мы можем также рассмотреть твердое тело во вращении. В этом случае мы хотим охарактеризовать вращение твердого тела по отношению к его оси вращения. Как мы продолжим? Сумма каждого из них - это именно момент количества движения диска.
. (8.9)
Введя обозначение
получим из (8.9) уравнение для функции y :
(8.11)
Это уравнение имеет решение только при (l =0,1,2,3,…) в специальных функциях, называемых сферическими гармониками или шаровыми функциями, причем для каждого значения l имеется 2l +1 решений:
Принимая во внимание, что в круговых движениях оба вектора перпендикулярны, мы можем развить выражение модуля углового момента каждой частицы, как мы видели раньше. В качестве ω → мы можем рассматривать векторную величину, перпендикулярную плоскости вращения, и с направлением, определяемым правилом правой руки, мы можем написать.
Заметим, что термин в круглых скобках напоминает выражение момента инерции частицы. Из этого можно определить угловой момент твердого тела. Его угловой момент твердого тела характеризует его состояние вращения. Это зависит от массы тела и распределения указанной массы относительно выбранной оси вращения. Это аксиальный вектор. Его направление перпендикулярно плоскости вращения, а его направление задается правилом правой руки. Он представляет собой фактор противодействия изменениям состояния вращения тела. . Чтобы прийти к предыдущему выражению углового момента, мы рассмотрели в качестве ссылки ось вращения диска.
. (8.12)
Здесь целое число m принимает 2l +1 значений: m = 0, ±1, ±2, ±3, …, ±l . Таким образом, каждому собственному значению оператора квадрата момента
(8.13)
соответствует не одна, а набор из 2l +1 собственных функций
В общем, выбор подходящей оси важен для расчета момента количества движения. При угловом моменте присутствует угловая скорость ω →. . Наконец, мы знаем, что для изменения линейного момента нам нужно приложить силу. Не могли бы вы угадать, что мы должны сделать, чтобы изменить угловой момент?
Изменение углового момента во времени
Чтобы узнать, что мы должны сделать, чтобы изменить угловой момент тела, мы собираемся вывести его угловой момент по времени. Заметим, что когда мы говорим о моменте силы, мы ссылаемся на момент вектора силы относительно рассматриваемого начала или оси. Вышеприведенное выражение справедливо для точечных частиц, но оно справедливо и для систем частиц, в которых только момент сил, внешних по отношению к самой системе, может приводить к изменениям углового момента системы.
(8.14)
Такая ситуация называется вырождением .
Шаровые функции для l =0,1,2 имеют вид:
На основании (8.6) собственные функции (8.14) являются также собственными функциями операторов проекций момента. Рассмотрим оператор . Функции (8.14) удовлетворяют уравнению
Сохранение углового момента
Из предыдущего выражения мы можем определить, когда сохраняется угловой момент, в зависимости от того, находимся ли мы в точечной частице или твердом теле. Угловой момент сохраняется, когда момент действующих на него сил равен нулю. Угловой момент сохраняется, когда момент внешних сил, действующих на твердое тело, равен нулю.
Обратите внимание, что в основном существуют два условия, при которых выполняется вышеописанное. Это справедливо в случае центральных сил. . Планетные системы - это системы центральных сил. Земля испытывает силы притяжения, определяемые законом гравитации и направленные к центру Солнца. Его угловой момент постоянный.
или, расписывая выражение для оператора и производя дифференцирование, получим
откуда собственное значение
Отсюда следует, что состояния при заданном полном моменте (задано l ) описывают состояния с различными проекциями момента на ось z , характеризуемые числом m . Таким образом, возможные значения абсолютной величины момента импульса и возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось z имеют квантованные значения. Никакие другие значения, кроме приведенных, не могут реализоваться в природе.
Спин - это внутреннее квантовое свойство, связанное с каждой частицей, которое характерно для природы частицы, а также ее массы и ее электрического заряда. Это позволяет охарактеризовать поведение частицы под действием симметрии вращения пространства.
Понятие спина позволяет математически классифицировать способ преобразования объектов под действием поворотов трехмерного пространства. Заметим, что, как правило, поскольку поворот угла равен тождеству, казалось бы, что любой объект имеет полный спин, потому что в худшем случае объект всегда должен быть идентичным себе при вращении. Тем не менее, строгий математический анализ группы вращений показывает тонкую структуру, которая позволяет некоторым объектам иметь полуцелый спин. Для таких объектов сделать полный поворот для себя недостаточно для них. чтобы вернуться в исходное положение, но необходимо выполнить поворот угла.
Оператор называется оператором орбитального момента
, его собственное значение
(8.17)
определяется целым числом l , которое называется орбитальным квантовым числом . Собственное значение оператора (8.16) определяется целым числом m, которое называется магнитным квантовым числом .
Они называются фермионами, из которых хорошо известным примером является электрон, обладающий спином. Более строго, как будет видно ниже, анализ поведения объектов под действием вращения требует учета математической структуры сформированной ими группы. Объект, преобразованный под вращениями, затем ассоциируется с групповым представлением. Таким образом, два объекта с подобными свойствами симметрии будут связаны с эквивалентными представлениями группы вращений. С этой точки зрения спин есть не что иное, как число, позволяющее классифицировать различные эквивалентные представления группы вращений, так что можно сказать, что частица спина 2 такая что гравитон обладает той же симметрией с точки зрения поворотов, что и леди лопат, поскольку оба они превращаются в эквивалентные представления.
В состояниях, в которых М 2 и М z имеют определенные значения, проекции М х и М у не имеют определенных значений (кроме случая l =0). Это означает, что в соответствии с принципом неопределенности частица при вращательном движении, так же как и при поступательном, не локализована в точке, а вектор момента импульса равновероятно может иметь любое направление в пределах конической поверхности, определяемой проекцией на ось z (рис. 8.1).
При рассмотрении системы вращающихся частиц, например, электронной оболочки атома или атомного ядра, состоящих из многих электронов или нуклонов, для нахождения полного момента импульса системы нужно сложить моменты подсистем, составляющих систему. Рассмотрим, например, систему двух частиц, тогда
,
а квантованные значения полного момента определяется следующим образом
где может принимать следующие значения:
Соотношение (8.17) называется правилом сложения моментов в квантовой механике.
Если частицу рассматривать классически как тело конечных размеров, то кроме орбитального движения возможно еще и собственное вращательное движение частицы вокруг собственной оси, характеризуемое собственным моментом импульса. Квантовомеханический аналог собственного момента импульса называется спином, оператор спина обозначается . По аналогии с оператором момента импульса вводится его собственное значение в виде
(8.18)
Также вводится оператор проекции спина на выделенное направление , имеющий собственные значения
Квантовое число m s принимает 2s +1 значение, по которым различаются квантовые состояния. На основании экспериментов Штерна-Герлаха по расщеплению пучка атомов водорода в магнитном поле на два пучка следует, что для электрона возможны 2 различных состояния, то есть 2s +1=2, откуда следует, что спиновое квантовое число для электрона s =1/2, а квантовое число проекции спина
Спиновый механический момент электрона всегда постоянен и равен
, (8.20)
а в пространстве может иметь только два направления, соответствующих проекциям
. (8.21)
Отличие спина от классического собственного момента импульса выражается в том, что спин для конкретной частицы имеет постоянное значение, которое невозможно изменить , то есть спин является фундаментальной характеристикой частицы . Спиновое квантовое число s для разных частиц может принимать значения 0, 1/2, 1, 3/2, . . .
Полный механический момент электрона равен сумме орбитального и спинового моментов
На основании правила сложения моментов (8.17) собственное значение оператора изменяется в пределах 
. Так у электрона при l
>0 может быть только , а при l
=0 полный момент может иметь только одно собственное значение j
=1/2.
Движение заряженных частиц по замкнутым траекториям кроме механического момента М характеризуется еще и магнитным моментом m , определяемым как произведение тока на площадь орбиты. Для круговой орбиты можно записать
где R - радиус орбиты, а ток выражается формулой
где е - заряд частицы, t - время обращения по орбите, а n - частота этого вращения. Подставим последнее выражение в (8.22), умножим и разделим на массу частицы и, учитывая, что скорость частицы v=2pR/t =2pRv , получим
, (8.23)
то есть магнитный момент заряженной частицы строго пропорционален ее механическому моменту М . Используя квантовомеханическое значение для орбитального механического момента (8.17), запишем магнитный момент орбитального движения для электрона:
, (8.24)
где величина = 9.27Ч10 -24 (Дж/Тл) - называется магнетоном Бора ,
а для протона
, (8.25)
где =5.05Ч10 -27 (Дж/Тл) - называется ядерным магнетоном Бора , который в m p /m e =1836 раз меньше магнетона Бора. Поэтому магнитные свойства атомов определяются в основном магнитными свойствами его электронов. Нужно отметить, что при l = 0 у электрона отсутствуют механический момент импульса и магнитный момент, то есть он «не вращается» вокруг ядра, что невозможно в классическом случае.
В классической механике для материальной точки момент импульса определяется как векторное произведение радиуса-вектора точки на ее импульс: .
1.
2. , если система изолированная или движется в центрально симметричном поле.
В квантовой механике момент импульса используется при описании движения частиц в центрально-симметричных полях. Рассмотрим простейший пример:
отрицательно заряженный
электрон движется в поле положительно заряженного протона.
Для микрочастиц можно ввести две разновидности момента импульса:
1. Орбитальный .
2. Собственный (спин - )
Неотъемлемые свойства электрона: , , S -спин (постоянная величина).Орбитальный и собственный моменты импульсов являются квантованными.
Квантование орбитального момента.
Орбитальное
движение – двумерное движение. Величина орбитального момента частицы
определяется: 
где l
=
0, 1, 2, 3,…Таким образом, если l
=0,
то
L
=0, а если l
=1,
то
L
=.
Величина
проекции орбитального момента на некоторое выделенное направление Z
в пространстве: 
, где 
(всего
2l
+1 значений), а l
–
орбитальное
квантовое число. Каждая проекция от соседней проекции отличается на .
Итак, как величина, так и направление квантово-механического орбитального момента могут меняться лишь дискретным образом. Орбитальный момент оказывается квантованным.
Наряду с орбитальным
моментом частицы могут иметь свой собственный момент импульса, не связанный с
их пространственным перемещением. Величина собственного момента характеризуется
спиновым квантовым числом S
и связана с ним соотношением: 
. Проекция спина на выделенное направление имеет лишь
дискретные значения: , где - магнитное спиновое квантовое число.
Для электронов может быть только две возможные ориентации , соответствующие =, а =.
= - «спин - вверх», а = - «спин - вниз».
35. Атом водорода. Квантование состояний. Спектральные переходы.
Атом водорода, состоящий из двух взаимодействующих частиц, представляет собой наиболее простую квантово-механическую систему для применения теории Шредингера. Использование последней дало первые успешные результаты квантовой механики в области описания атомов.
В состав атома водорода входят положительно заряженное
ядро-протон и отрицательно заряженный электрон. Мы будем использовать
упрощенный подход, в котором взаимодействие этих частиц считается чисто
электростатическим. В этом случае уравнение Шредингера имеет точное
аналитическое решение.
На рис. изображён график зависимости от расстояния энергии кулоновского взаимодействия электрона и протона:
Как следует из графика, электрон находится в своеобразной трёхмерной потенциальной яме.
Состояния электрона в этом случае являются связанными и должны характеризоваться набором четырёх квантовых чисел. Три из них определяются тремя пространственными ограничениями движения электрона, а четвертое – наличием у него собственного момента – спина. Различным наборам этих квантовых чисел должны соответствовать различные собственные функции уравнения Шредингера, имеющие форму стоячих волн, а также различные значения полной энергии и момента импульса электрона.
Таким образом, задача описания состояния атома водорода сводится к нахождению квантовых чисел, собственных волновых функций, значений энергии и момента импульса электрона.
Волновые функции и квантовые состояния атома водорода
Поскольку масса протона значительно превышает массу электрона (m p ≈ 1836m e), задачу квантово-механического описания атома водорода можно свести к описанию движения электрона в поле неподвижного протона. Стационарное уравнение Шредингера для волновой функции электрона в этом случае записывается следующим образом:
Так как система обладает центральной симметрией, удобно перейти к сферическим координатам, характеризуя положение электрона по отношению к ядру радиусом вектором , полярным углом θ и азимутальным углом φ (см. рис.).