Решение квадратных неравенств с параметром методом интервалов. Учебное пособие "уравнения и неравенства с параметрами"
Предварительный просмотр:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОУ НПО профессиональное училище № 37
ПРОЕКТ:
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ»
Выполнила –
Мацук Галина Николаевна,
Преподаватель математики ГОУ НПО
профессионального училища № 37 МО.
Г.Ногинск, 2011
1. Введение
4. Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами в общем виде.
7. Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.
8.Заключение.
9.Литература.
- Введение.
Основная задача обучения математике в профессиональном училище заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточной высокой математической культуры.
Профилированное обучение математике осуществляется через решение задач прикладного характера, связанных с профессиями по металлообработке, электромонтажным работам, деревообработке. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля общения, проявляющегося в определенных умственных навыках. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью. С их помощью можно проверить знания основных разделов элементарной математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской работы.
Обучение задачам с параметрами требует от обучающихся больших умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, коллективно-познавательный труд. Задачи с параметрами ориентированы для изучения во время обобщающего повторения на 2 курсе в период подготовки к итоговой государственной аттестации и на 3 курсе на дополнительных занятиях при подготовке обучающихся, изъявивших желание сдавать выпускные экзамены в форме ЕГЭ.
Основным направлением модернизации математического образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение ЕГЭ. В заданиях по математике в последние годы вводятся задачи с параметрами. Обязательны такие задания на вступительных экзаменах в вузы. Появление таких задач очень актуально, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления абитуриента. Анализ предыдущих результатов ЕГЭ за несколько предыдущих лет показывает, что выпускники с большим трудом решают такие задания, а многие даже не приступают к ним. Большинство либо вовсе не справляются с такими заданиями, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в проведении в выпускных группах при подготовке к экзаменам специальных тем по решению задач с параметрами и задач прикладного характера, связанных с профессиональной направленностью.
Изучение данных тем предназначено для обучающихся 3 курса, которые хотят научиться способам решения задач повышенного уровня сложности по алгебре и началам анализа. Решение таких задач вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.
В процессе решения задач с параметрами в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Так как в учебном плане в профессиональных училищах предусмотрено проведение консультаций по математике, которые имеются в расписании учебных занятий, то для обучающихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к изучаемому предмету, имеющих дальнейшей целью поступление в вуз, целесообразно использовать указанные часы для решения задач с параметрами для подготовки к олимпиадам, математическим конкурсам, различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Особенно актуально решение таких задач для прикладного и практического характера, которое поможет при проведении различных исследований.
2. Цели, основные задачи, методы, технологии, требования к знаниям.
Цели проекта:
- Формирование умений и навыков по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратных уравнений и неравенств.
- Формирование интереса к предмету, развитие математических способностей, подготовка к ЕГЭ.
- Расширение математических представлений о приемах и методах решения уравнений и неравенств.
- Развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности.
- Приобщение к творческой, исследовательской и познавательной деятельности.
- Обеспечение условий для самостоятельной творческой работы.
- Воспитание у обучающихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, активности, творческой инициативы, умений коллективно-познавательного труда.
Основные задачи проекта:
- Предоставить обучающимся возможность реализовать свой интерес к математике и индивидуальные возможности для его освоения.
- Способствовать усвоению фактических знаний и умений.
- Показать практическую значимость задач с параметрами в сфере прикладного исследования.
- Научить способам решения стандартных и нестандартных уравнений и неравенств.
- Углубить знания по математике, предусматривающие формирование устойчивого интереса к предмету.
- Выявить и развить математические способности обучающихся.
- Обеспечить подготовку к поступлению в вузы.
- Обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.
- Организовать исследовательскую и проектную деятельность, способствующую развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств.
Методы, используемые при проведении занятий:
- Лекция – для передачи теоретического материала, сопровождающаяся беседой с обучающимися.
- Семинары – для закрепления материла по обсуждению теории.
- Практикумы – для решения математических задач.
- Дискуссии – для аргументации вариантов своих решений.
- Различные формы групповой и индивидуальной деятельности.
- Исследовательская деятельность, которая организуется через: работу с дидактическим материалом, подготовку сообщений, защиту рефератов и творческих работ.
- Лекции – презентации с использованием компьютера и проектора.
Используемые технологии:
- Лекционно-семинарская система обучения.
- Информационно-коммуникационные технологии.
- Исследовательский метод в обучении, направленный на развитие мыслительных способностей.
- Проблемное обучение, предусматривающую мотивацию к исследованию путем постановки проблемы, обсуждение различных вариантов проблемы.
- Технология деятельностного метода, помогающая вывить познавательные интересы обучающихся.
Требования к знаниям обучающихся.
В результате изучения различных способов решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами обучающиеся должны приобрести умения:
- Прочно усвоить понятие параметра в квадратном уравнении и квадратном неравенстве;
- Уметь решать квадратные уравнения с параметрами.
- Уметь решать квадратные неравенства с параметрами.
- Находить корни квадратичной функции.
- Строить графики квадратичных функций.
- Исследовать квадратичный трехчлен.
- Применять рациональные приемы тождественных преобразований.
- Использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.
- Уметь применять полученные знания при работе на персональном компьютере.
Формы контроля.
- Уроки – самооценки и оценки товарищей.
- Презентация учебных проектов.
- Тестирование.
- Рейтинг – таблица.
- Домашние задачи из сборников по ЕГЭ прошлых лет.
- Контрольные работы.
3. Методика решения квадратных уравнений с параметрами в общем виде.
Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего при решении уравнений и неравенств с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения и неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, сократить, вынести множитель за скобки и т.д. Встречаются задачи, которые можно разделить на два больших класса.
В первый класс можно отнести примеры, в которых надо решить уравнение или неравенство при всех возможных значениях параметра.
Ко второму классу отнесем примеры, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Класс таких задач неисчерпаем.
Наиболее понятный для обучающихся способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.
При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в обычной плоскости (х,у), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х,а), где х – независимая переменная, а «а» – параметр. Это прежде всего возможно в задаче, где приходится строить знакомые элементарные графики: прямые, параболы, окружности и т.д. Кроме того эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения.
При решении уравнений f (х,а) = 0 и неравенств f (х,а) › 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f (х,а), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А(а) х 2 + В(а) х + С(а) = 0 при А(а) = 0 превращается в линейное, если при этом В(а) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.
Вспомним основные формулы для работы с квадратными уравнениями.
Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х R – неизвестные, а, в, с – выражения, зависящие только от параметров, причем а ≠ 0, называется квадратным уравнением, а D = b 2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Если D
Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня
х 1 = , х 2 = , и тогда ах 2 + вх + с = а (х – х 1 ) (х – х 2 ).
Эти корни через коэффициенты уравнения связаны формулами Виета
Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня х 1 = х 2 = , и тогда ах 2 + вх + с = а (х – х 1 ) 2 . В этом случае говорят, что уравнение имеет одно решение.
Когда , т.е. = 2к, корни квадратного уравнения определяются по формуле х 1,2 = ,
Для решения приведенного квадратного уравнения х 2 + pх + q = 0
Используется формула х 1,2 = - , а также формулы Виета
Примеры. Решить уравнения:
Пример 1. + =
Решение:
При а ≠ - 1, х ≠ 2 получаем х 2 + 2ах – 3в + 4 = 0 и корни
х 1 = - а - , х 2 = -а + , существующие при
А 2 + 2а – 4 0, т.е. при
Теперь проверим, нет ли таких а, при которых либо х 1 , либо х 2 равен 2. Подставим в квадратное уравнение х = 2, при этом получим а = - 8.
Второй корень в таком случае равен (по теореме Виета) и при а = - 8 равен 14.
Ответ: при а = - 8 единственное решение х = 14;
Если а (- ∞; - 8) (- 8; - 4) (1; + ∞) – два корня х 1 и х 2 ;
Если а = - единственное решение х = соответственно;
Если а (- 4; 1), то х .
Иногда уравнения с дробными членами приводятся к квадратным. Рассмотрим следующее уравнение.
Пример 2. - =
Решение: При а = 0 оно не имеет смысла, значение х должно удовлетворять условиям: х -1, х -2. Умножив все члены уравнения на а (х + 1) (х +2) 0,
Получим х 2 – 2(а – 1)х + а 2 – 2а – 3 = 0, равносильное данному. Его корни:
х 1 = а + 1, х 2 = - 3. Выделим из этих корней посторонние, т.е. те, которые равны – 1 и – 2:
Х 1 = а + 1 = - 1, а = - 2, но при а = - 2 х 2 = - 5;
Х 1 = а + 1 = - 2, а = - 3, но при а = - 3 х 2 = - 6;
Х 2 = а - 3 = - 1, а = 2, но при а = 2 х 1 = 3;
Х 2 = а - 3 = - 2, а = 1, но при а = 1 х 1 = 2.
Ответ: при а ≠ 0, а ≠ 2, а ≠ - 3, а ≠ 1 х 1 = а + 1, х 2 = а – 3;
При а = - 2 х = - 5; при а = - 3 х = - 6.
4.Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
Условия параметрических квадратных уравнений разнообразны. Например, нужно найти значение параметра при котором корни: положительны, отрицательны, имеют разные знаки, больше или меньше какого-либо числа и т.д. Для их решения следует использовать свойства корней квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Если D > 0, а > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с > 0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента в, а при с
Если D = 0, а > 0, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которого противоположен знаку коэффициента в.
Если D 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно установить свойства корней квадратного уравнения и для а
- Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.
- Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента в, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.
- Если в квадратном уравнении коэффициенты а и с имеют разные знаки, то оно имеет действительные корни.
- Если а > 0 и D = 0, то левая часть квадратного уравнения – есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то а > 0 и D = 0.
- Если все коэффициенты уравнения рациональны и дискриминант выражает полный квадрат, то корни уравнения рациональны.
- Если рассматривается расположение корней относительно нуля, то применяем теорему Виета.
Отбор корней квадратного трехчлена по условиям и расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой.
Пусть f (х) = ах 2 + вх + с, а 0, корни х 1 ˂ х 2 , ˂ .
Расположение корней на числовой прямой. | Необходимое и достаточное условие. |
|
х 1 , х 2 | а f ( ) > 0, D 0, х 0 |
|
х 1 , х 2 > | а f ( ) > 0, D 0, х 0 > |
|
х 1 2 | а f ( ) |
|
1 ,х 2 . | а f ( ) > 0, D 0, а f ( ) > 0 0 . |
|
1 2 | а f ( ) > 0, а f ( ) |
|
х 1 2 | а f ( ) ) > 0 |
|
х 1 2 | а f ( ) ) |
Пример 3. Установить, при каких значениях а уравнение
х 2 – 2 (а – 1) х + 2а + 1 = 0
- не имеет корней:
необходимое и достаточное условие D
D = (а – 1) 2 – 2а – 1 = а 2 – 4а
- имеет корни:
D 0, D = (а – 1) 2 – 2а – 1 0, а
- имеет один корень:
- имеет два корня:
D > 0, т.е. а
- имеет положительные корни:
2(а – 1) > 0 а 4
Если вопрос будет «имеет два положительных корня», то в системе следует заменить D > 0;
- имеет отрицательные корни:
2(а – 1)
- имеет корни разного знака, т.е. один положительный, а другой отрицательный:
а ;
Условие
использовать не обязательно, достаточно х
1
х
2
- имеет один из корней, равный 0:
необходимое достаточное условие – равенство нулю свободного члена уравнения, т.е. 2а + 1 = 0, а = -1/2.
Знак второго корня определяется или подстановкой в исходное уравнение а = -1/2, или, проще, по теореме Виета х 1 + х 2 = 2 (а – 1), и после подстановки а = -1/2 получаем х 2 = - 3, т.е. при а = -1/2 два корня: х 1 = 0, х 2 = - 3.
Пример 4 . При каких значениях параметра а уравнение
(а – 2) х 2 – 4ах +3 -2а = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее неравенству х
Решение.
Дискриминант 2 – (а – 2)(3 – 2а)
4а 2 – 3а + 6 + 2а 2 – 4а = 6а 2 – 7а + 6
Так как 49 – 144 = - 95 и первый коэффициент 6 то 6а 2 – 7а + 6 при всех х R.
Тогда х 1,2 = .
По условию задачи х 2, тогда получим неравенство
Имеем:
верно при всех а R.
6а 2 – 7а + 6 6а 2 – 7а - 10 2
А 1,2 = 1/12 (7 17), а 1 = 2, а 2 = - 5/6.
Следовательно, -5/6
Ответ: -
5. Параметр как равноправная переменная.
Во всех разобранных задачах параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в примере. К примеру, при таком взгляде на параметр формы f (х; а) задают функции не с одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно формирует еще один тип (а точнее метод решения, определяющий этот тип) задач с параметрами. Покажем аналитическое решение такого типа.
Пример 5. На плоскости ху укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства у = х 2 – 4рх + 2р 2 – 3, где р – параметр.
Решение: Если (х 0 ;у 0 ) – точка, через которую не проходит ни одна из кривых заданного семейства, то координаты этой точки не удовлетворяют исходному уравнению. Следовательно, задача свелась к тому, чтобы найти зависимость между х и у, при которой данное в условии уравнение не имело бы решений. Нужную зависимость несложно получить, сосредоточив внимание не на переменных х и у, а на параметре р. В этом случае возникает продуктивная идея: рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно р. Имеем
2р 2 – 4рх+ х 2 – у – 3 = 0. Дискриминант = 8х 2 + 8у + 24 должен быть отрицательным. Отсюда получаем у ˂ - х 2 – 3, следовательно, искомое множество – это все точки координатной плоскости, лежащие «под» параболой у = - х 2 – 3.
Ответ : у 2 – 3
6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами
В общем виде.
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
Допустимыми являются те значения параметров, при которых а,в,с – действительны. Квадратные неравенства удобно решать либо аналитическим способом, либо графическим. Так как графиком квадратичной функции является парабола, то при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а
Различное положение параболы f (х) = ах 2 + вх + с, а 0 при а > 0 показано на рис.1
А) в) с)
а) Если f (х) > 0 и D R;
б) Если f (х) > 0 и D = 0, то х ;
в) Если f (х) > 0 и D > 0, то х (- ; х 1 ) (х 2 ; + ).
Аналогично рассматриваются положения параболы при а
Например, один из трех случаев, когда
при а 0 и f (х) > 0 х (х 1 ; х 2 );
при а 0 и f (х) (- ; х 1 ) (х 2 ; + ).
В качестве примера рассмотрим решение неравенства.
Пример 6. Решить неравенство х 2 + 2х + а > 0.
Пусть D – дискриминант трехчлена х 2 + 2х + а > 0. При D = 0, при а = 1, неравенство примет вид:
(х + 1) 2 > 0
Оно верно при любых действительных значениях х, кроме х = - 1.
При D > 0, т.е. при х , трехчлен х 2 + 2х + а имеет два корня: - 1 – и
1 + и решением неравенства служит промежуток
(- ; - 1 – ) (- 1 + ; + )
Это неравенство легко решить графически. Для этого представим его в виде
Х 2 + 2х > - а
и построим график функции у = х 2 + 2х
Абсциссы точек пересечения этого графика с прямой у = - а и являются корнями уравнения х 2 + 2х = - а.
Ответ:
при –а > - 1, т.е. при а , х (- ; х 1 ) (х 2 ;+ );
при – а = - 1, т.е. при а = 1, х – любое действительное число, кроме - 1;
при – а , т.е при а > 1, х – любое действительное число.
Пример 7 . Решить неравенство сх 2 – 2 (с – 1)х + (с + 2)
При с = 0 оно принимает вид: 2х + 2 решением будет х
Введем обозначение f (х) = сх 2 – 2 (с – 1)х + (с + 2) где с ≠ 0.
В этом случае неравенство f (х)
Пусть и D – дискриминант f (х). 0,25 D = 1 – 4с.
Если D > 0, т.е. если с > 0,25, то знак f (х) совпадает со знаком с при любых действительных значениях х, т.е. f (х) > 0 при любых х R, значит, при с > 0,25 неравенство f (х)
Если D = 0, т.е. с = 0,25, то f (х) = (0,25 х + 1,5) 2 , т.е. f (х) 0 при любом
Х R. Следовательно, при с = 0,25 неравенство f (х)
Рассмотрим случай D 0). f (х) = 0 при двух действительных значениях х:
х 1 = (с – 1 – ) и х 2 = (с – 1 + ).
Здесь могут представиться два случая:
Решить неравенство f (х)
f (х) совпадает со знаком с. Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что – , т.е. с – 1 – ˂ с – 1 + ,но так как с (с – 1 – ) (с – 1 + ) и поэтому решением неравенства будет:
(- ; (с – 1 – )) ( (с – 1 + ); + ).
Теперь для решения неравенства достаточно указать те значения с, при которых знак f (х) противоположен знаку с. Так как при 0 1 2 , то х (х 1 ; х 2 ).
Ответ: при с = 0 х R;
При с (- ; х 2 ) (х 1 ; + );
При 0 (х 1 ; х 2 );
При с 0,25 решений нет.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах решения и квадратных неравенств. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом возникает координатная плоскость (х; а). Такая незначительная деталь, как отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из самых эффективнейших методов решения задач с параметрами.
Удобно, когда в задаче фигурирует один параметр а и одна переменная х. Сам процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.
Отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – «метод областей»
- Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.
Рассмотрим аналитическое решение квадратного неравенства с параметрами, результаты решения которого рассматриваются на числовой прямой.
Пример 8.
Найдите все значения х, для каждого из которых неравенство
(2-х)а 2 +(х 2 -2х+3)а-3х≥0
выполняется для любого значения а, принадлежащего промежутку [-3;0].
Решение. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:
(2-x)а 2 + (x 2 -2x+3)а-3х=ах 2 - а 2 х - 2ах + 2а 2 + 3а - 3x =
Ах (х - а)-2а(х - а)- 3(х-а) = (x - а)(аx- 2а - 3).
Данное неравенство примет вид: (x - а) (аx - 2а - 3) ≥ 0.
Если а = 0, получаем - Зх ≥ 0 x ≤ 0.
Если а ≠ 0, то -3 а
Так как а 0, то решением этого неравенства будет промежуток числовой оси, расположенный между корнями соответствующего неравенству уравнения.
Выясним взаимное расположение чисел а и , учитывая при этом условие - 3 ≤ а
3 ≤a
A = -1.
Представим во всех рассмотренных случаях решения данного неравенства в зависимости от значений параметра:
Получим, что только х = -1 является решением данного неравенства при любом значении параметра а .
Ответ: -1
- Заключение.
Почему мной был выбран проект по теме «Разработка методических рекомендаций решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами»? Так как при решении любых тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, неравенств, систем мы чаще всего приходим к рассмотрению иногда линейных, а чаще всего квадратных уравнений и неравенств. При решении сложнейших задач с параметрами большинство заданий сводится с помощью равносильных преобразований к выбору решений типа: а (х – а) (х – с) > 0 (
Мы рассмотрели теоретические основы для решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Вспомнили необходимые формулы и преобразования, рассмотрели различные расположения графиков квадратичной функции в зависимости от значения дискриминанта, от знака при старшем коэффициенте, от расположения корней, вершины параболы. Выявили схему решения и выбора результатов, составили таблицу.
В проекте показаны аналитические и графические методы решения квадратных уравнений и неравенств. Обучающимся в профессиональном училище необходимо зрительное восприятие материала для лучшего усвоения материала. Показано, как можно поменять переменную х и принять параметр как равноправную величину.
Для наглядного усвоения данной темы рассмотрено решение 8 задач с параметрами, по 1 – 2 для каждого раздела. В примере № 1 рассмотрено количество решений при различных значениях параметра, в примере № 3 проводится разбор решения квадратного уравнения при самых различных начальных условиях. Для решения квадратных неравенств сделана графическая иллюстрация. В примере № 5 применяется метод замены параметра как равноправной величины. В проект включено рассмотрение примера № 8 из заданий, включенных в раздел С, для интенсивной подготовки к сдаче ЕГЭ.
Для качественной подготовки обучающихся решению задач с параметрами рекомендуется в полном объеме использовать мультимедийные технологии, а именно: использовать для лекций презентации, электронные учебники и книги, собственные разработки из медиатеки. Очень эффективны бинарные уроки математика + информатика. Незаменимым помощником преподавателю и учащемуся является Интернет. В презентации необходимы импортированные объекты из существующих образовательных ресурсов. Наиболее удобным и приемлемым в работе является ЦОР «Использование Microsoft Office в школе».
Разработка методических рекомендаций по данной тематике облегчит работу молодых преподавателей, пришедших работать в училище, пополнит портфолио преподавателя, послужит образцом для специальных предметов, образцы решений помогут обучающимся справиться со сложными заданиями.
- Литература.
1.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.
2.Балаян Э.Н. Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. 9-11 классы. «Феникс», Ростов-на Дону, 2010.
3.Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М., «Просвещение», 1986.
4.Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. М. «АЙРИС – пресс», 2005.
5.Родионов Е.М., Синякова С.Л. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2004.
6. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: В 2 кн. Кн.1, М., 2009.
Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.
I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.
При каких значениях параметра a a множество решений неравенства $$x^2+ax-1
Поскольку коэффициент при x 2 x^2 положителен, решением неравенства является интервал между корнями в случае $$D > 0$$ и пустое множество, если D ≤ 0 D \leq 0 .
Находим дискриминант: D = a 2 + 4 D = a^2+4 ($$D>0$$ при всех a a). Тогда множество решений есть промежуток
x ∈ (- a - a 2 + 4 2 ; - a + a 2 + 4 2) x \in (\dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}; \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}) . Требуется, чтобы длина этого промежутка была равна 5, т. е.
A + a 2 + 4 2 = - a - a 2 + 4 2 + 5 ⇔ a 2 + 4 = 5 ⇔ a = ± 21 \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2} = \dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2} + 5 \Leftrightarrow \sqrt{a^2+4}=5 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{21} .
ОТВЕТ
A = ± 21 a = \pm \sqrt{21}
При каких значениях параметра p p уравнение x 2 + p 2 + 4 p · x + p - 1 x^2+\sqrt{p^2+4p}\cdot x +p-1 имеет корни, а сумма квадратов корней минимальна?
Сумму квадратов корней уравнения удобно выразить с помощью теоремы Виета:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = (- p 2 + 4 p) 2 - 2 (p - 1) = p 2 + 2 p + 2 x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\sqrt{p^2+4p})^2-2(p-1) = p^2 +2p + 2 .
Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант: D = p 2 + 4 p - 4 (p - 1) = p 2 + 4 D = p^2+4p-4(p-1) = p^2+4 . Видим, что дискриминант положителен при любых допустимых значениях p p , т. е. при
p ∈ (- ∞ ; - 4 ] ∪ [ 0 ; + ∞) (5) p \in (-\infty; -4]\bigcup и пр.), в которых надо самостоятельно нарисовать чертёж и сделать соответствующие выводы.
Замечания. 1. Для уравнений и неравенств вида
$$ax^2 + bx + c = 0,\: ax^2 + bx + c > 0, \: ax^2 + bx + c надо отдельно рассматривать случай a = 0 a =0 . Тогда получится линейное уравнение (неравенство).
2. В большинстве задач важно учесть знак числа a a - от этого зависит направление ветвей параболы.
3. Заметим, что совокупность двух систем
$$\begin{cases} a > 0, \\ f(a) > 0 \end{cases} и \begin{cases} a
равносильна неравенству $$a f(a) > 0$$. Поэтому в условии 1 ° 1^{\circ} можно записать одну систему $$\begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}}
Аналогично можно упростить и другие условия:
$$2^{\circ} \Leftrightarrow \begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}} > A .\end{cases} \:\:\: 3^{\circ} \Leftrightarrow a f(A) 0, \\ a f(A) > 0, \\ a f(B) > 0, \\ A
Перейдём к примерам.
При каких a a уравнение (2 a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 = 0 (2a-2)x^2 + (a+1)x +1 = 0 имеет корни, и все они принадлежат интервалу (- 2 ; 0) (-2; 0) ?
1) Если 2 a - 2 = 0 (a = 1) 2a-2=0\:(a=1) , то уравнение принимает вид 2 x + 1 = 0 2x+1=0 . Это уравнение имеет единственный корень x = - 0,5 x=-0,5 , который принадлежит интервалу (- 2 ; 0) (-2; 0) . Значит, a = 1 a =1 удовлетворяет условию задачи.
2) Если 2 a - 2 ≠ 0 2a-2 \neq 0 , то уравнение квадратное. Находим дискриминант:
D = (a + 1) 2 - 4 (2 a - 2) = a 2 - 6 a + 9 = (a - 3) 2 D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2 .
Поскольку дискриминант является полным квадратом, находим корни(как правило, вышеописанные приёмы с расположением корней удобно использовать, если формулы для корней громоздкие. Если дискриминант является полным квадратом и корни получаются “хорошими”, то проще решить задачу напрямую):
Для выполнения условий задачи требуется, чтобы выполнялось неравенство $$-2 \dfrac{3}{2}$$.
ОТВЕТ
A ∈ { 1 } ∪ (3 2 ; + ∞) a \in \{1\}\bigcup (\dfrac{3}{2}; +\infty) .
При каких значениях a a неравенство $$4^{\textrm{sin}\:x}-2\cdot (a-3) \cdot 2^{\textrm{sin}\:x} + a+3 > 0$$ выполняется для всех x x ?
Обозначим 2 sin x = y 2^{\textrm{sin}\:x}=y . Поскольку - 1 ≤ sin x ≤ 1 -1 \leq \textrm{sin}\:x \leq 1 , получаем, что 1 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 \dfrac{1}{2} \leq 2^{\textrm{sin}\:x} \leq 2 . Исходное неравенство принимает вид
$$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$
Данная задача эквивалентна следующей: «при каких a a неравенство $$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$ выполнено для всех y ∈ [ 1 2 ; 2 ] y \in [\dfrac{1}{2};2] ?»
График левой части этого неравенства - парабола с ветвями вверх. Требования задачи будут выполнены в двух случаях. 1) $$D
а) Это расположение параболы (корни находятся слева от отрезка [ 1 2 ; 2 ] [\dfrac{1}{2};2]) задаётся условиями (записываем и решаем систему):
$$\begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\infty;1]\bigcup]6;+\infty),\\ a 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \leq 1 $$.
б) Этот случай задаётся условием $$D
в) Аналогично случаю а) получаем систему:
$$\!\!\!\! \begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} > 2,\\ f(2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 > 2,\\ 4 - 4(a-3) +a+3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\in (-\infty; 1]\bigcup ?
1) Рассматриваем случай a = 0 a = 0 (тогда уравнение не квадратное). Уравнение принимает вид - 5 x - 6 = 0 -5x-6=0 . Корней на отрезке [ 0 ; 2 ] нет, поэтому a = 0 a = 0 не подходит.
2) Уравнение квадратное. Обозначим левую часть уравнения через f (x) f(x) . Уравнение имеет на отрезке [ 0 ; 2 ] ровно один корень в двух случаях.
А) Уравнение имеет единственный корень, и он принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] . Это возможно при D = 0 D = 0 . Вычисляем дискриминант:
D = (2 a - 5) 2 - 4 a (a - 6) = 4 a + 25 D = (2a-5)^2-4a(a-6) = 4a+25 .
Дискриминант обращается в ноль при a = - 25 4 a=-\dfrac{25}{4} . При этом исходное уравнение принимает вид - 25 4 x 2 - 35 2 x - 49 4 = 0 -\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{35}{2}x - \dfrac{49}{4} = 0 , откуда x = - 7 5 x = -\dfrac{7}{5} . Корней на отрезке [ 0 ; 2 ] нет, значит, этот случай не реализуется ни при каких значениях параметра a a .
Б) Уравнение имеет два корня ($$D>0 \Leftrightarrow a>-\dfrac{25}{4}$$), один из которых принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] , а другой - нет. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы либо (а) функция f (x) f(x) принимала на концах отрезка [ 0 ; 2 ] значения разных знаков - тогда корень лежит в интервале (0 ; 2) (0;2) (в качестве примера(можете самостоятельно рассмотреть и другие возможные расположения параболы) см. рис. 7), либо (б) в одном из концов отрезка обращалась в ноль - тогда корень лежит на одном из концов отрезка.
(а) Условие “числа f (0) f(0) и f (2) f(2) имеют разные знаки” равносильно неравенству $$f(0)\cdot f(2)
$$\left(a-6\right)\left(4a+2\left(2a-5\right)+\left(a-6\right)\right)
(б) Если f (0) = 0 f(0) = 0 , то a = 6 a=6 . Тогда уравнение принимает вид 6 x 2 + 7 x = 0 6x^2+7x=0 . Его корнями являются числа x = 0 x=0 и x = - 7 6 x=-\dfrac{7}{6} , т. е. на отрезке [ 0 ; 2 ] оно имеет ровно один корень.
Если f (2) = 0 f(2) = 0 , то a = 16 9 a=\dfrac{16}{9} . Тогда получаем 16 9 x 2 - 13 9 x - 38 9 = 0 \dfrac{16}{9}x^2 - \dfrac{13}{9}x - \dfrac{38}{9} = 0 , откуда x = 2 x=2 или x = - 19 16 x=-\dfrac{19}{16} , т. е. опять из двух корней только один принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] .
Значит, оба значения a = 6 a=6 и a = 16 9 a=\dfrac{16}{9} и удовлетворяют условию задачи(при f (2) = 0 f(2) = 0 или f (0) = 0 f(0) = 0 обязательно надо найти второй корень и посмотреть, находится ли он на отрезке [ 0 ; 2 ] ).
Объединяя результаты, получаем a ∈ [ 16 9 ; 6 ] a\in [\dfrac{16}{9}; 6] .
ОТВЕТ
16 9 ≤ a ≤ 6 \dfrac{16}{9} \leq a \leq 6
При каких значениях параметра a a уравнение | x 2 - 4 | x | + 3 | = a |x^2-4|x|+3| = a имеет ровно 8 решений?
Изобразим графики левой и правой частей на плоскости xOy.
Чтобы построить график левой части, сначала изображаем параболу y = x 2 - 4 x + 3 y = x^2-4x+3 . Затем отражаем все точки этой параболы, лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси и получаем график функции y = | x 2 - 4 x + 3 | y=|x^2-4x+3| (рис. 8а). Далее отбрасываем все точки, лежащие слева от оси абсцисс, а оставшиеся точки отражаем относительно этой оси - получаем график функции y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| .
График правой части - это горизонтальная прямая y = a y=a . Уравнение имеет 8 решений, когда эта прямая пересекает график y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| в восьми точках. Несложно видеть, что это происходит при $$0ОТВЕТ
A ∈ (0 ; 1) a\in (0;1)
Найдите все значения параметра p p , при которых уравнение 4 x + 2 x + 2 + 7 = p - 4 - x - 2 · 2 1 - x 4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x} имеет хотя бы одно решение.
Перепишем уравнение в виде (4 x + 4 - x) + 4 · (2 x + 2 - x) = p - 7 (4^x+4^{-x})+4\cdot (2^x+2^{-x})=p-7 и сделаем замену 2 x + 2 - x = t 2^x+2^{-x}=t . Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получаем, что t 2 = (2 x + 2 - x) 2 = 4 x + 2 + 4 - x t^2=(2^x+2^{-x})^2=4^x+2+4^{-x} , откуда 4 x + 4 - x = t 2 - 2 4^x+4^{-x} = t^2-2 . Уравнение принимает вид t 2 - 2 + 4 t = p - 7 ⇔ (t + 2) 2 = p - 1 t^2-2+4t = p-7 \Leftrightarrow (t+2)^2 = p-1 .
Найдём множество значений левой части уравнения. Поскольку(используем, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше двух: a + 1 a ≥ 2 a+\dfrac{1}{a} \geq 2 при $$a>0$$ 0 (равенство возможно только при a = 1 a = 1). Это можно доказать, например, с помощью неравенства Коши: для положительных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического (a 1 + a 2 + . . . + a k k ≥ a 1 · a 2 · . . · a k k) (\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot .. \cdot a_k}) , причём равенство достигается только в случае a 1 = a 2 = . . . = a k a_1=a_2=...=a_k . Для двух положительных чисел это неравенство принимает вид a + b 2 ≥ a b \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} . Если сюда подставить b = 1 a b = \dfrac{1}{a} , то получится требуемое неравенство.) t ≥ 2 t \geq 2 , получаем, что левая часть уравнения принимает значения из промежутка [ 16 ; + ∞) È(1;+¥)È
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение
.
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и 
, получаем
и 
.
, то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то ; , то ,;
, то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет три различных корня.Переписав уравнение в виде
и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .В системе координат хОу построим график функции
). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции
– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную .III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Из первого уравнения системы получим
при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
Решение неравенств с параметром.
Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами .
Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.
Пример 1.
Решить неравенство 5х – а > ax + 3.
Решение.
Для начала преобразуем исходное неравенство:
5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:
(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:
Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).
Если а = 5, то решений нет.
Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).
Данное решение и будет являться ответом неравенства.
Пример 2.
Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:
ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:
1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.
2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.
3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.
Пример 3.
Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.
Решение.
Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство
Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:
{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.
Преобразуем к виду:
{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.
Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :
При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].
При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
При а = 0 x = -1.
При 0 < а ≤ 1 решений нет.
Графический метод решения неравенств
Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.
Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).
Пример 1.
Решить неравенство |x + 5| < bx.
Решение.
Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2)
. Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.
На рисунке видно:
1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.
2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.
Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.
Пример 2.
Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).
Решение.
1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.
2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).
a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;
b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;
c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;
e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.
Пример 3.
Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.
Решение.
Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3)
и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.
Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.
При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.
Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.