Числовые выражения. Числовые и алгебраические выражения — Гипермаркет знаний

Одним из понятий алгебры 7 класса являются числовые выражения. Они используются для решения задач. Что собой представляют числовые выражения и как их использовать?

Определение понятия

Какое выражение является числовым в алгебре? Так обозначают запись, составленную из цифр, скобок и знаков вычитания, умножения, деления, сложения.

Понятие числового выражения допустимо только в том случае, если запись несет смысловую нагрузку. К примеру, запись 4-) не является числовым выражением, так как она бессмысленна.

Примеры числовых выражений:

  • 25х13;
  • 32-4+8;
  • 12х(25-5).

Характеристики понятия

Числовое выражение имеет несколько свойств, которые используются в решении примеров и задач. Рассмотрим эти свойства подробнее. Для этого возьмем такой пример – 45+21-(6х2).

Значение

Так как числовое выражение содержит знаки различных арифметических действий, их можно выполнить и получить в результате какое-то число. Оно называется значением числового выражения. Как производится вычисление значений числового выражения? Оно соответствует правилам выполнения арифметических действий:

  • в выражениях без скобок выполняют действия, начиная с высших ступеней – умножение, деление, сложение, вычитание;
  • если имеется несколько одинаковых действий, их выполняют слева направо;
  • если есть скобки, сначала выполняют действия в них;
  • при вычислении дробей сначала выполняют действия в числителе и знаменателе, а затем числитель делят на знаменатель.

Применим эти правила к нашему примеру.

  • Сначала найдем значение в скобках: 6х2=12.
  • Затем произведем сложение: 45+21=66.
  • Последним действием найдем разность: 66-12=54.

Итак, число 54 будет являться значением выражения 45+21-(6х2).

Для того, чтобы правильно прочитать числовое выражение нужно определить, какое действие будет являться последним в подсчетах. В выражении 45+21-(6х2) последним действием было вычитание. Соответственно, называть это выражение нужно “разность”. Если бы вместо знака “-” стоял знак “+”, выражение называли бы суммой.

Если у выражения невозможно произвести подсчет значения, его называют не имеющим смысла. Например, смысла не имеет такое выражение: 12:(4-4). В скобках разность равна нулю. А по правилам математики на нуль делить нельзя. Значит, найти значение выражения невозможно.

Равенство

Так называют запись, в которой два числовых выражения разделены знаком “=”. Например, 45+21-(6х2)=66-12. Обе части записи равны числу 54, а значит, они равны друг другу. Такое равенство называют верным.

Если же написать 45+21-(6х2)=35+12, это равенство будет неверным. В левой части равенства значение выражения равно 54, а в правой – 57. эти числа не равны друг другу, значит, и равенство неверное.

Пример задачи

Для того, чтобы лучше понять тему, рассмотрим пример решения задачи. Как решить задачу числовым выражением?

Дано: две машины выезжают из одного пункта в другой. Они поедут по разным дорогам. Одной машине предстоит проехать 35 км., а другой – 42 км. Первая машина едет со скоростью 70 км/ч, а вторая – 84 км/ч Окажутся ли они в конечном пункте в одно и то же время?

Решение: нужно составить два числовых выражения, чтобы найти время в пути у каждой машины. Если они окажутся одинаковыми, значит, машины придут в конечный пункт одновременно. Для того, чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. 35 км:70 км/ч=0,5 ч. 42 км:84 км/ч=0,5 ч.

Итак, обе машины приехали в конечный пункт через полчаса.

Что мы узнали?

Из темы по алгебре, изучаемой в 7 классе, мы узнали, что числовое выражение – это запись из цифр и знаков арифметических действий. С помощью числовых выражений можно решать задачи. Если последним действием в числовом выражении было вычитание, то его называют “разность”. Если вместо знака “-” стоит знак “+”, выражение называется суммой.

Запись, которая состоит из чисел, знаков и скобок, а также имеет смысл, называется числовым выражением.

Например, следующие записи:

  • (100-32)/17,
  • 2*4+7,
  • 4*0.7 -3/5,
  • 1/3 +5/7

будут являться числовыми выражениями. Следует понимать, что одно число тоже будет являться числовым выражением. В нашем примере, это число 13.

А, например, следующие записи

  • 100 - *9,
  • /32)343

не будут являться числовыми выражениями, так как они лишены смысла и являются просто набором чисел и знаков.

Значение числового выражения

Так как в качестве знаков в числовых выражениях входят знаки арифметических действий, то мы можем посчитать значение числового выражения. Для этого необходимо выполнить указанные действия.

Например,

(100-32)/17 = 4, то есть для выражения (100-32)/17 значением этого числового выражения будет являться число 4.

2*4+7=15, число 15 будет являться значением числового выражения 2*4+7.

Часто для краткости записи не пишут полностью значение числового выражения, а пишут просто "значение выражения", опуская при этом слово «числового».

Числовое равенство

Если два числовых выражения записаны через знак равно, то эти выражения образуют числовое равенство. Например, выражение 2*4+7=15 является числовым равенством.

Как уже отмечалось выше, в числовых выражениях могут использоваться скобки. Как уже известно скобки влияют на порядок действий.

Вообще, все действия разделены на несколько ступеней.

  • Действия первой ступени: сложение и вычитание.
  • Действия второй ступени: умножение и деление.
  • Действия третей ступени – возведение в квадрат и возведение в куб.

Правила при вычислении значений числовых выражений

При вычислении значений числовых выражений следуют руководствоваться следующими правилами.

  • 1. Если выражение не имеет скобок, то надо выполнять действия начиная с высших ступеней: третья ступень, вторая ступень и первая ступень. Если имеется несколько действий одной ступени, то их выполняют в порядке в котором они записаны, то есть слева на право.
  • 2. Если в выражении присутствуют скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а лишь затем все стальные действия в обычном порядке. При выполнении действий в скобках, если их там несколько, следует пользоваться порядком описанным в пункте 1.
  • 3. Если выражение представляет собой дробь, то сначала вычисляются значении в числителе и знаменателе, а потом числитель делится на знаменатель.
  • 4. Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то выполнять действия следует с внутренних скобок.

АЛГЕБРА
Уроки для 7 классов

Урок № 12

Тема. Выражения. Числовые выражения

Цель: систематизировать и обобщить знания о числовые и буквенные выражения, приобретенные учащимися в 5-6 классах.

Тип урока: систематизация и обобщение знаний.

Ход урока

И. Анализ тематической контрольной работы

О результатах предыдущего урока (тематическая контрольная работа № 1) ученики узнают к уроку (учитель может раздать тетради с тематической контрольной работы № 1); анализ тематической контрольной работы учащиеся сделали дома (получив разрешение работы в виде раздаточного материала), поэтому единственное, что может сделать учитель во время проверки тематической контрольной работы - выписать для каждого ученика те вопросы, над которыми надо поработать отдельно, и затем эти рекомендации в начале урока.

II . Организационный момент

Учитель инструктирует учащихся по направлениям дальнейшей работы (начинаем изучать новую тему «Выражения»), сообщает учащимся срок следующей тематической контрольной работы и напоминает, что подготовка к ней начинается уже на этом уроке - сообщает тему и цель урока.

III . Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. Выполните действия: 1) 1,6 + 3,4; 2) 5 - 6,5; 3) 4,2 - 6,2; 4) 3 · ; 5) 18: ;6) (-4) · ; 7) (-20) · ; 8) 6: ; 9) 0,52.

2. Среди записей (см. ниже) один лишний. Найдите его и объясните, чего вы считаете его лишним:

1) 17 · 2 + 8; 2) (14,2 - 11,4) : 4; 3) 42 - ; 4) (42 - b ) · 0,4.

3. Рассмотрите записи. Установите порядок действий и выполните действия:
1) ; 2) ; 3) .

Какое противоречие с условием задачи вы получили? Почему?

IV . Систематизация и обобщение знаний

Вариант 1 . Фронтальная работа с учащимися

@ Теоретические сведения о числовые выражения, сообщаются ученикам в этой теме, в основном уже известные им. С понятиями «числовое выражение», «значение числового выражения» учащиеся встречались в курсе математики 5- 6 классов. Принципиально новым для них есть понятие числового выражения, что не имеет смысла. Это понятие будет использовано позже во время изучения выражений с переменными, не имеют смысла при некоторых значениях переменных.

Не лишним будет вспомнить о существовании 5-й арифметического действия (возведение в степень, с которым учащиеся познакомились еще в 5 классе) и о порядке выполнения действий в числовом выражении; не забываем про использование свойств действий в вычислениях значений числовых выражений.

Записи в конспектах учащихся могут иметь такой вид:

Конспект 3

Числовые выражения

1. Числовые выражения образуются из чисел, скобок и знаков действий.

Пример: 17 · 2 + 8, (14,2 - 11,4) · 4, - числовые выражения.

Замечания. Одно число также считают числовым выражением.

Пример: 7,5; 1 - числовые выражения.

2. Значение числового выражения - число, которое приобретается после выполнения всех

действий в числовом выражении

Пример: значением выражения 17 · 2 + 8 является число 42.

Замечания. Не для всех числовых выражений существует их значение; в этом случае говорят, что выражение не имеет смысла.

Пример: - числовое выражение, но во время выполнения действий имеем:

, что вычислить невозможно, поэтому выражение не имеет смысла

Вариант 2. Работа с опережающим домашним заданием

Учитывая условие опережающего домашнего задания, работу можно организовать так:

На доске записано таблицу, которую заполняем во время фронтальной работы или после самостоятельной работы учащихся, комментируя записи в тетрадях:

Известное

Неизвестно

После заполнения таблицы повторяем содержание известных понятий и, используя приемы работы с текстом, добиваемся сознательного восприятия содержания новых понятий.

В любом случае после проведенной работы выполняем записи в тетрадях (конспект 3).

V . Систематизация знаний, усвоение навыков

@ В системе упражнений основное внимание уделяем повторение алгоритмов действий с рациональными числами; использованию законов действий в ходе вычисления значений выражений и упражнения, в которых продолжается работа над формированием важного математического умение переходить от записи числового выражения или выражения с переменными к его формулировки с помощью слов и наоборот. Дополнительные задачи (№ 4* и 5*) предусматривают усвоение навыков составления числового выражения по определенным условиям.

Выполнение письменных упражнений

1. Найдите значения выражений:

1) ;

2) (-31,7: 63,4 - 23,4: (-1,7)) · (-2,4);

3) ;

4) .

2. Запишите числовое выражение и найдите значение каждого из них:

1) произведение суммы чисел 15 и -22 и числа 2,1;

2) доля разности чисел 10 и 6,4 и числа - 1,2;

3) доля числа 27 и произведения чисел - 0,06 и 0,5;

4) произведение суммы и разности чисел 2,7 и 0,3;

5) разность квадратов чисел 5 и - 9;

6) квадрат разности чисел 1,2 и - 0,8.

3. Используя термины «сумма», «разность», «произведение» и «доля», прочитайте выражение:

1) 8,5 - 7,3; 2) 4,7 · 12,3; 3) 65: 1,3; 4) 5,6 + 0,9; 5) 2 · 9,5 + 14;

6) (10 - 2,7) : 5; 7) 2,5 - (3,2 + 1,8); 8) 6,1 · (8,4: 4).

4. Имеют ли смысл выражения: 1) 6,3: (2,5 · 9 - 22,5); 2) (1 5 - 2,5 · 6 ) : 4,2?

5*. Используя три раза цифру 2, составьте выражение, значение которого равно: 1) 6; 2) 8; 3) 3; 4) 1.

6*. Составьте числовое выражение для решения задачи:

1) Из двух городов, расстояние между которыми 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Какое расстояние будет между ними через 3 часа после выхода, если известно, что скорость одного пешехода 4 км/ч., а второго 5 км/ч.?

2) Один рабочий изготавливает за час 7 деталей, а второй - 9 деталей. Сколько деталей они изготавливают вместе за 4 ч?

VI . Рефлексия. Контрольные вопросы

1. Приведите пример числового выражения и укажите, в каком порядке нужно выполнить действия, чтобы найти его значение?

2. Приведите пример числового выражения, что не имеет смысла.

3. Установите соответствие между элементами левого и правого столбиков.

1) 3 + 2; 1) сумма 3 и 2;

2) 3 - 2; 2) разница 3 и 2;

3) 3 - 2; 3) квадрат числа 3;

1) Длина прямоугольного участка 42 м, а ширина на 10 м меньше. Запишите выражение для нахождения площади участка.

2) Длина прямоугольного участка 42 м, а ширина най м меньше. Запишите

выражение для нахождения площади участка.

Алгебраические выражения начинают изучать в 7 классе. Они обладают рядом свойств и используются в решении задач. Изучим эту тему подробнее и рассмотрим пример решения задачи.

Определение понятия

Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:

  • 4а+5;
  • 6b-8;
  • 5с:6*(8+5).

Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной .

Значение выражения

Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.

Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).

Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.

  • 5-3=2.
  • 8*3=24.
  • 14*2=28.
  • 24-28=-4.

Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.

Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1. Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5.

Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.

Тождественные выражения

Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными .
Пример тождественных выражений :
4(а+с) и 4а+4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.

Пример тождественного преобразования .
4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

  • 4*5а=20а.
  • 4*14с=64с.
  • 20а+64с.

Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.

Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.

Решение задач

Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?

Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.

  • (а+7)-5.
  • ((а+7)-5)*2=28.

Теперь решим полученное уравнение.

Петя загадал число 12.

Что мы узнали?

Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.

Презентация по математике на тему "Алгебраические выражения" (7 класс). Эта презентация разработана для рассмотрения новой темы по математике в седьмом классе "Алгебраические выражения". Приведены примеры алгебраических выражений, дано определение алгебраических выражений. Показано различие алгебраического выражения от числового выражения. Приведены примеры для чего нужно уметь составлять алгебраические выражения, то есть, где они применяются. Рассматриваются примера на составление алгебраических выражений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Алгебраические выражения.

Проверка домашнего задания. Какие сведения из математики вам пришлось вспомнить в процессе выполнения домашнего задания?

Порядок арифметических действий. Переместительный закон сложения: a + b = b + a Переместительный закон умножения: a * b = b * a Сочетательный закон сложения: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = a(bc) Понятие обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицательного числа. Арифметические операции с десятичными дробями. Арифметические операции с обыкновенными дробями. Основное свойство обыкновенной дроби: Правила действий с десятичными дробями.

Пример 1 Один холодильник стоит 350 $ . Тогда два холодильника стоят в два раза больше, т.е. 350·2=700 $ ; пять холодильников стоят в пять раз дороже, т.е. 350·5=1750 $ . Легко сообразить, что а холодильников стоят в а раз больше, т.е. 350· а $ С помощью выражения 350· а можно находить стоимость различного числа а холодильников, подставляя различные значения а и выполняя умножение. Так как буква а может принимать различные натуральные значения, то а – переменная 350· а – алгебраическое выражение (или выражение с переменной)

Пример 2. Пусть длина одной стороны прямоугольника а см, другой – b см. Найдем периметр прямоугольника. b a P = 2 a + 2 b a , b – переменные 2 a + 2 b – алгебраическое выражение

Пример 3. Запись 2a – 3b + 5 – алгебраическое выражение с переменными a и b . - алгебраическое выражение с переменными x и y .

Пример 4. Найдем значение выражения при a = 3 , b = 4 и с =2 В данное алгебраическое выражение подставим значения переменных a = 3 , b = 4 , c = 2 . Получаем числовое выражение. Выполнив действия, найдем его значение: = = = 9 Число 9 является значением алгебраического выражения для данных значений переменных. Значение числового выражения, которое получается при подстановке выбранных значений переменных в алгебраическое выражение, называют значением алгебраического выражения.

Поделиться: