Главная » Электрика на производстве » Векторная диаграмма представляет. Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма представляет. Векторная диаграмма токов и напряжений

Токи ветвей находятся сразу:

Для определения общего тока необходимо построить векторную диаграмму (рис. 23.1, б). Построение начинаем с вектора напряжения, так как оно является общим для всех ветвей. Из векторной диаграммы имеем:

Разность индуктивной и емкостной проводимостей представляет собой общую реактивную проводимость цепи B=B L -B C .

Векторы токов на диаграмме образуют треугольник токов. Его горизонтальный катет, представляющий проекцию вектора тока на вектор напряжения, называется активной составляющей тока и равен току в активном элементе цепи: I a =I g =GU (рис. 23.2, а). Проекция вектора тока на направление, перпендикулярное напряжению, – это реактивная составляющая тока. Она равна суммарному току реактивных элементов:

Разделив все стороны треугольника токов на U, получим треугольник проводимостей (рис. 23.2, б), стороны которого связаны следующими соотношениями:

2. Символический метод.

Раньше были получены следующие формулы:

Подставляя их в уравнение первого закона Кирхгофа, получаем:

№24 Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока. Эквивалентные сопротивления и проводимости.

На рис. 24.1 показан пассивный двухполюсник, состоящий из активных и реактивных элементов. Действующие значения напряжения U, тока I и угол сдвига фаз между ними φ известны.

Построим по этим значениям векторную диаграмму и, спроектировав вектор напряжения на вектор тока и перпендикулярное к нему направление, получим треугольник напряжений, образованный сторонами U a , U p , U (рис. 24.2 а).

Схема называется последовательной схемой замещения или последовательной эквивалентной схемой пассивного двухполюсника, а ее параметры R , X и Z – эквивалентными сопротивлениями двухполюсника.

Треугольник, образованный сторонами R, X, Z и подобный треугольнику напряжений, представляет собой треугольник сопротивлений

Теперь разложим вектор тока на две составляющие Ia – активную, направленную по вектору напряжения, и реактивную Ip, перпендикулярную к нему (рис. 24.3, а). Такой векторной диаграмме соответствует параллельная схема замещения двухполюсника (рис. 24.3, б). Ее параметры G, B и Y называются эквивалентными проводимостями. Токи в элементах G и B мы и представляем как активную и реактивную составляющие общего тока: Ia=GU, Ip=BU. Из треугольника токов (рис. 24.3, а) получается треугольник проводимостей.

Получим условия эквивалентности приведенных схем.

Для последовательной цепи U=IZ, для параллельной I=YU, а так как токи и напряжения в обеих схемах одинаковы, то: Y=1/Z и Z=1/Y

т.е. в любой электрической цепи полная проводимость есть величина, обратная полному сопротивлению.

Формулы перехода от последовательной эквивалентной схемы к параллельной:

Формулы перехода от параллельной эквивалентной схемы к последовательной:

Обращаем внимание на то, что каждая из проводимостей G и B зависит от обоих сопротивлений – активного и реактивного. В свою очередь, каждое из сопротивлений определяется обеими проводимостями. Соотношения G = 1/R и B = 1/x справедливы только в частном случае, первое – при х = 0, второе – при R = 0.

Следует отметить, что активная и реактивная составляющие напряжения и тока физически не существуют, измерить их нельзя. Они относятся только к соответствующим эквивалентным схемам замещения и находятся расчетом. Более того, проектируя, например, вектор тока на различные напряжения, мы получим для него разные составляющие.

№25 Закон Ома в символической форме для произвольной цепи.

Пусть мгновенные значения напряжения и тока на зажимах произвольного пассивного двухполюсника определяются выражениями, комплексы действующих значений которых соответственно равны:

а их отношение определяет комплексное сопротивление двухполюсника:

Величина, обратная комплексному сопротивлению – комплексная проводимость:

Сопротивления z, R, x и проводимости y, G и B, входящие в два последних выражения, есть не что иное, как эквивалентные параметры двухполюсника.

№26 О расчете цепей синусоидального тока.

Как следует из изложенного теоретического материала и приведенных примеров, при анализе цепей синусоидального тока широко применяются векторные диаграммы и комплексные числа. Сами по себе векторные диаграммы зачастую служат для иллюстрации результатов теоретических исследований и решения задач. Они помогают лучше понять сущность изучаемых процессов и наглядно представить соотношения и связи напряжений и токов на различных участках с параметрами цепи.

Во многих случаях векторные диаграммы, построенные предварительно по изложенным выше правилам без каких-либо вычислений, являются основой для вывода из них конкретной методики решения данной задачи. Возможны также привязка векторной диаграммы к комплексным осям, выражение векторов комплексными числами и дальнейший расчет в символической форме. Принципиального отличия между методом векторных диаграмм и символическим нет. Как мы видели раньше, за аналитическими действиями с комплексными числами кроются определенные геометрические операции с векторами.

Следует также помнить, что никакого физического содержания векторы и комплексные числа в себе не несут. Это чисто математические абстракции, необходимые для анализа.

Символический метод базируется на законах Ома и Кирхгофа, которые в символической форме записываются точно так же, как в цепях постоянного тока. Поэтому все изложенные ранее методы расчета цепей постоянного тока, вытекающие из этих законов, применимы и для расчета в символической форме цепей синусоидального тока.

№27 Явление резонанса в электрических цепях.

Резонансом называют режим, когда в цепи, содержащей индуктивности и емкости, ток совпадает по фазе с напряжением. Входные реактивные сопротивление и проводимость равны нулю: x = I m Z = 0 и B = I m Y = 0. Цепь носит чисто активный характер: Z = R; сдвиг фаз отсутствует (φ=0).

Напряжения на индуктивности и емкости в этом режиме равны по величине и, находясь в противофазе, компенсируют друг друга. Все приложенное к цепи напряжение приходится на ее активное сопротивление (рис. 27.1, а).

Напряжения на индуктивности и емкости могут значительно превышать напряжения на входе цепи. Их отношение, называемое добротностью контура Q, определяется величинами индуктивного (или емкостного) и активного сопротивлений:

Добротность показывает, во сколько раз напряжения на индуктивности и емкости при резонансе превышают напряжение, приложенное к цепи. В радиотехнических цепях она может достигать нескольких сотен единиц.

Из условия выше следует, что резонанса можно достичь, изменяя любой из параметров – частоту, индуктивность, емкость. При этом меняются реактивное и полное сопротивления цепи, а вследствие этого – ток, напряжение на элементах и сдвиг фаз. Не приводя анализа формул, показываем графические зависимости некоторых из этих величин от емкости (рис. 27.2). Емкость С 0 , при которой наступает резонанс, можно определить из формулы: С 0 =1/(ω 2 L).

Аналогичные рассуждения можно провести и для цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L и C. Векторная диаграмма ее резонансного режима приведена на рис. 27.1, б. Рассмотрим теперь более сложную цепь с двумя параллельными ветвями, содержащими активные и реактивные сопротивления (рис. 27.3, а).

Для нее условием резонанса является равенство нулю ее реактивной проводимости: ImY = 0. Это равенство означает, что мы должны мнимую часть комплексного выражения Y приравнять к нулю.

Определяем комплексную проводимость цепи. Она равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

Приравнивая к нулю выражение, стоящее в круглых скобках, получаем:

Левая и правая части последнего выражения представляют собой не что иное, как реактивные проводимости первой и второй ветвей B1 и B2. Заменяя схему на рис. 27.3, а эквивалентной (рис. 27.3, б), параметры которой вычисляем по формулам, и используя условие резонанса (B = B1 – B2 = 0), снова приходим к конечному выражению.

Схеме на рис. 27.3, б соответствует векторная диаграмма, приведенная на рис. 27.4

Резонанс в разветвленной цепи называется резонансом токов. Реактивные составляющие токов параллельных ветвей противоположны по фазе, равны по величине и компенсируют друг друга, а сумма активных составляющих токов ветвей дает общий ток.

№28 Энергия и мощность в цепи синусоидального тока.

Пусть на некотором участке цепи, напряжение на зажимах которого равно u , током i за время dt переносится электрический заряд dq = idt. Затрачиваемая источником энергия равна при этом dw = udq = uidt, а развиваемая мощность p = dw/dt = ui. Эта величина называется мгновенной мощностью и определяет скорость и направление движения энергии на рассматриваемом участке. Если энергия поступает в цепь и накапливается в ней, функция w(t) возрастает, и мгновенная мощность положительна как производная возрастающей функции. Напряжение u и ток i в эти моменты времени имеют одинаковые знаки. Процесс накопления энергии в цепи наблюдается, например, при заряде конденсатора. В те моменты времени, когда u и i имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна, функция w(t), определяющая энергию, поступающую в цепь, убывает, так как только убывающая функция имеет отрицательную производную. Убыль энергии в электрической цепи означает возврат ее источнику. Такая ситуация возникает при разряде конденсатора.

Энергия, поступающая в цепь, может не возвращаться к источнику, а необратимо преобразовываться в тепло или механическую работу. Количество этой энергии определяется законом Джоуля–Ленца и за время, равное периоду синусоидального тока, равно:

Эта величина, отнесенная ко времени Т, определяет среднее значение мгновенной мощности за период и называется активной мощностью:

Физически активная мощность представляет собой энергию, выделяющуюся в виде тепла или механической работы в единицу времени.

Пусть ток и напряжение на входе произвольного пассивного двухполюсника описываются выражениями:

Подставляя их в формулу ранее и интегрируя, получаем:

P=UIcos(φ)

Используя соотношения между сторонами в треугольниках напряжений и токов, сопротивлений и проводимостей, можно написать цепочку формул для вычисления активной мощности:

Рассмотрим теперь энергетические процессы, происходящие в отдельно взятых элементах.

В активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе (φ = 0); в любой момент времени их знаки одинаковы, мгновенная мощность положительна, т.е. в него постоянно поступает энергия электрического тока, преобразуясь в тепловую или механическую. Активная мощность равна:

В реактивных элементах угол сдвига фаз по величине равен 90°. В индуктивности, при отстающем токе, он положителен, в емкости, при опережающем токе, – отрицателен. Подставляя φ = +- 90° в выражение напряжения на входе цепи, получим u = Um sin (ωt+-90°) = +-Um cos(ωt). При таком напряжении мгновенная мощность колеблется с двойной частотой, изменяясь по синусоидальному закону:

т.е. дважды за полпериода меняет знак. Подстановка этого выражения приводит к результату: P = 0. Равенство нулю активной мощности означает, что в реактивных элементах не происходит необратимого преобразования электромагнитной энергии в тепловую и механическую.

Можно показать, что в индуктивности в течение первой четверти периода, при возрастании тока от нуля до Im, в магнитном поле индуктивности накапливается энергия W M =(LI 2 m)/2. В течение следующей четверти периода, когда ток уменьшается до нуля, эта энергия из магнитного поля возвращается во внешнюю цепь.

В емкости – аналогично: в течение одной четверти периода, когда напряжение на обкладках конденсатора возрастает от нуля до Um, конденсатор заряжается, в его электрическом поле накапливается энергия: W э =(СU 2 m)/2. В следующую четверть периода конденсатор разряжается, его напряжение уменьшается до нуля, и накопленная в электрическом поле энергия возвращается в цепь. Энергию, которой электрическое поле конденсатора и магнитное поле катушки обмениваются с цепью, будем называть энергией обмена.

Для энергии магнитного поля W M и электрического поля W Э можно записать следующие формулы:

Величины Q L =I 2 X L и Q C =I 2 X C имеющие размерность мощности, называются соответственно реактивной мощностью индуктивности и реактивной мощностью емкости. К работе, совершаемой переменным током, они отношения не имеют, а являются величинами, пропорциональными энергии магнитного и электрического полей: Q L =ωW M , Q C =ωW Э.

В цепи, содержащей одновременно и индуктивность и емкость, колебания энергии происходят таким образом, что в те моменты времени, когда магнитное поле индуктивности накапливает энергию, электрическое поле емкости энергию отдает, и наоборот. Т.е., когда энергия магнитного поля положительна, энергия электрического поля отрицательна. Суммарная энергия электрического и магнитного полей за четверть периода равна:

где Q – реактивная мощность цепи, она пропорциональна суммарной энергии электрического и магнитного полей и может быть определена через реактивные сопротивления:

При резонансе, когда X L =X C , равны реактивные мощности Q L и Q C и энергии W M и W Э, накапливаемые в магнитном и электрическом полях. В этом случае обмен энергией между индуктивностью и емкостью происходит без участия источника.

Для вычисления реактивной мощности можно написать цепочку формул:

При анализе электрических цепей часто используется треугольник мощностей, который можно получить, умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока (рис. 28.1). Для него справедливы следующие соотношения:

Буквой S, стоящей рядом с гипотенузой треугольника, обозначается полная мощность. Ее можно вычислить по одной из следующих формул:

Полная мощность определяется той электрической энергией, которая вырабатывается генератором и отдается в цепь. Она характеризует габариты электрических машин и аппаратов. Величина напряжения определяет уровень изоляции – ее толщину и расстояние между токоведущими частотами, а ток – поперечное сечение проводника, условия охлаждения машины.

При cosφ = 1 полная мощность равна наибольшему значению активной мощности, которую можно получить при заданных напряжении и токе.

Единицы измерения мощности, имея одну и ту же размерность, называются по-разному. Единица активной мощности – ватт (Вт), реактивной – вольт-ампер реактивный (вар), полной – вольт-ампер (ВА).

Комплексная мощность определяется произведением комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока:

№29 Явление взаимной индукции.

Пусть имеются две катушки, намотанные в виде тонких колец. Их активные сопротивления равны нулю, числа витков W1 и W2. Катушки находятся достаточно близко друг от друга, так что магнитное поле каждой из них какой-то своей частью охватывает соседнюю. Схематическая картина магнитных потоков, создаваемых токами i 1 и i 2 , показана на рис. 29.1. Каждый поток изображен в виде одной силовой линии, обозначенной буквой Ф с двумя индексами. Первый – указывает номер катушки, током которой он создается (происхождение магнитного потока), второй – номер катушки, охватываемой этим потоком (объект его воздействия). Рассмотрим магнитные потоки первой катушки. Ток создает поток Ф 1 , называемый потоком самоиндукции. Его часть Ф 11 охватывает только первую катушку, а W Э захватывает и витки второй. В сумме они равны Ф 1 . Кроме того, витки первой катушки охватываются потоком Ф 21 , называемым потоком взаимной индукции и составляющим часть потока Ф 2 , создаваемого током второй катушки i 2 . Суммарный магнитный поток Ф I , пронизывающий первую катушку, складывается из потоков самоиндукции Ф 1 и взаимной индукции Ф 21 . Сумма берется алгебраическая Ф I =Ф 1 +-Ф 21 , так как эти потоки могут быть направлены одинаково, либо противоположно друг другу. Изображение на рис. 29.1 соответствует второму случаю.

где ψ 1 =W 1 Ф 1 – собственное потокосцепление первой катушки (потокосцепление самоиндукции); ψ 21 =W 1 Ф 21 – потокосцепление взаимной индукции.

Каждое из этих потокосцеплений пропорционально создающему его току: ψ 1 =L 1 i 1 и ψ 21 =Mi 2 . Поэтому ψ I =L 1 i 1 +-Mi 2 . При изменении магнитного потока в катушке индуцируется эдс электромагнитной индукции, и на ее зажимах появляется напряжение:

Аналогичное уравнение можно записать и для второй катушки.

Первое слагаемое в правой части последнего уравнения U 1L представляет собой напряжение, обусловленное током самой катушки (напряжение самоиндукции), а второе U 1M – напряжение, наведенное на зажимах первой катушки изменяющимся магнитным полем второй катушки (напряжение взаимной ииндукции). Эти напряжения имеют одинаковые знаки при согласном направлении магнитных потоков и разные – при встречном.

Для решения задачи о характере включения катушек и о направлении их магнитных потоков вводят понятие одноименных зажимов, отмечая их на схеме одинаковыми значками. Разметку делают руководствуясь следующим определением.

Одноименными зажимами двух катушек называются такие зажимы, когда при одинаковых направлениях токов относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке складываются.

Другими словами, если мы имеем две катушки, у которых отмечены начала и концы намотки, и если токи в них протекают одинаково, например от начала к концу в обеих катушках, то оба магнитные потока в каждой из них будут направлены согласно.

Наличие магнитной связи между катушками обозначается на схемах двухсторонней дугообразной стрелой, рядом с которой ставится буква i 1 .

№30 Последовательное соединение индуктивно связанных элементов.

Пусть две катушки, обладающие сопротивлениями R1 и R2 , индуктивностями L1 и L2 и взаимной индуктивностью M, соединены последовательно (рис. 30.1).

Возможны два вида их соединения – согласное и встречное. Если считать, что звездочками отмечены начала обмоток, то при согласном включении начало второй подключается к концу первой (рис. 30.1, а). Токи в обеих катушках направлены одинаково относительно одноименных зажимов: от начала к концу. При встречном включении катушек конец второй присоединяется к концу первой (рис. 30.1, б).

Напряжение на каждой из катушек содержит три составляющих: падение напряжения на активном сопротивлении, напряжение самоиндукции и напряжение взаимной индукции:

Последние имеют одинаковые знаки при согласном включении и разные при встречном. Напряжение на входе цепи равно сумме этих двух напряжений:

Входное комплексное сопротивление цепи получим из совместного рассмотрения трех последних уравнений:

где Z1 и Z2 – комплексные сопротивления катушек, а Z M – комплексное сопротивление взаимной индукции:

Из формулы выше вытекают формулы, определяющие общую индуктивность цепи и суммарное индуктивное сопротивление:

Можно определить результирующее индуктивное сопротивление каждой катушки. У первой оно равно X 1 +-X M . И здесь при согласном включении оно больше чем при встречном. Физически это объясняется тем, что в первом случае магнитный поток, охватывающий каждую катушку, больше чем во втором; например, для первой катушки Ф Iсогл =Ф 1 +Ф 21 , а Ф Iвстр =Ф 1 -Ф 21 . Вследствие этого ЭДС электромагнитной индукции, оказывающая току индуктивное сопротивление, при согласном включении больше, чем при встречном.

На рис. 30.1 изображены векторные диаграммы, построенные по уравнениям (30.1) и (30.2).

При встречном включении возможен так называемый "емкостный" эффект, когда у одной из катушек напряжение на зажимах отстает по фазе от тока (напряжение на рис. 30.1, б). Это имеет место, когда индуктивность катушки меньше величины взаимной индуктивности. В этом случае результирующая индуктивность рассматриваемой катушки (с учетом взаимной индукции) отрицательна: L2-M<0. Для всей цепи такой эффект невозможен. Ее индуктивность всегда положительна, и цепь носит активно-индуктивный характер.

№31 Параллельное соединение индуктивно связанных элементов.

разноименных. Пусть две индуктивно связанные катушки с параметрами R1, R2, L1, L2 и M соединены параллельно (рис. 3.5). Оба вида соединения будем рассматривать одновременно. Согласное соединение получается при подключении к одному и тому же узлу одноименных зажимов, встречное

точками. Запишем уравнения Кирхгофа для рассматриваемой цепи и решая их, получим выражения, определяющие токи: Первый случай отмечен на схеме звездочками, второй

Входное комплексное сопротивление цепи равно отношению напряжения к току на ее зажимах:

При отсутствии магнитной связи между катушками, полагая Z M =0, получаем известную формулу для определения общего сопротивления двух параллельных ветвей:

Во всех приведенных выражениях у слагаемых с двойным знаком верхний знак относится к согласному соединению, нижний к встречному.

На рис. 31.2 представлены векторные диаграммы рассматриваемой цепи при согласном (а) и встречном (б) соединениях катушек. При построении векторы I 1 jX 1 и I 1 jX M проводятся перпендикулярно току I 1 , а векторы I 2 jX 2 и I 2 jX M перпендикулярно току I 2 . При согласном соединении напряжения взаимной индукции опережают соответствующие токи, при встречном отстают от них.

№32 Разметка зажимов индуктивно связанных катушек.

Если разметка осуществляется в процессе изготовления катушек, то одноименные зажимы можно указать, проследив направления намотки. Для двух катушек это сделать очень легко (рис. 32.1, а).

Поступаем следующим образом. Отмечаем один из зажимов первой катушки каким-либо значком, например, звездочкой. Предположим, что это – начало обмотки. Направим ток в ней от начала к концу и, пользуясь правилом правой руки, определяем направление магнитного потока: правой рукой охватываем катушку так, чтобы четыре пальца показали направление тока в ее витках, тогда отогнутый большой палец покажет направление магнитного потока. Во второй катушке ток направляем так, чтобы его магнитный поток имел то же самое направление. Зажим, от которого ток уходит в катушку, также является началом. Его тоже отмечаем звездочкой.

Более сложный случай показан на рис. 32.1, б. Оказывается, здесь невозможно указать одноименные зажимы сразу для всех трех катушек. Приходится рассматривать их попарно и действовать так, как только что описано. При этом, рассматривая отдельно какую-то пару катушек, на стержень магнитопровода с третьей катушкой не обращаем внимания.

В том случае, когда направление намотки катушек неизвестно и установить его без разрушения катушки невозможно, прибегают к помощи электроизмерительных приборов.

Один из возможных способов заключается в следующем. Обе катушки поочередно собирают в схемы, показанные на рис. 3.8, и подключают к источнику синусоидального напряжения одной и той же величины.

Очевидно, что в одном случае получается согласное соединение, в другом – встречное. Вид соединения определяем по показаниям амперметра. Вспомним, что при согласном соединении катушек их полное сопротивление больше, а, следовательно, при одной и той же величине входного напряжения ток меньше, чем при встречном. А определив вид соединения, легко делаем разметку: при согласном последовательном соединении катушки подключаются друг к другу разноименными зажимами (начало второй к концу первой). Если на рис. 33.2 при одинаковых показаниях вольтметров амперметр показывает 1,5 А в левой схеме и 1,1 А – в правой, то слева имеем встречное соединение, справа согласное, и поэтому одноименными зажимами являются первый и четвертый, а также второй и третий.

Покажем еще один способ разметки. Первую катушку присоединяем через ключ к источнику постоянного напряжения, например, к аккумуляторной батарее; к зажимам второй катушки подключаем гальванометр (или вольтметр) магнитоэлектрической системы (рис. 32.3, а).

Зажим первой катушки, подключаемый к положительному полюсу источника, помечаем каким-нибудь способом, например, прикрепляем к нему бирку. Затем замыкаем ключ. Если стрелка прибора при этом отбрасывается на шкалу, вешаем такую же бирку на тот зажим второй катушки, который присоединен к положительной клемме прибора (зажим 3). Если стрелка отклоняется влево, за пределы шкалы, то одноименным с зажимом 1 является зажим 4.

С целью теоретического обоснования метода проведем этот опыт с катушками, направления намотки и одноименные зажимы которых известны (рис. 32.3, б).

При замыкании ключа в первой катушке возникает возрастающий по величине ток i 1 , который создает магнитный поток Ф 1 , также возрастающий по величине. Последний индуцирует во второй катушке ЭДС электромагнитной индукции. Создаваемый ею ток i 2 возбуждает магнитный поток Ф 2 , направление которого противоположно направлению Ф 1 , так как попринципу Ленца он должен противодействовать его возрастанию. А магнитный поток такого направления создается током, направление которого показано на схеме. Напоминаем, что направления тока в катушке и создаваемого им магнитного потока связаны правилом правой руки. Ток i 2 в рассматриваемой схеме протекает через гальванометр от его плюсовой клеммы к минусовой. При таком направлении тока через прибор его стрелка отбрасывается на шкалу.

Результатом проведенных рассуждений является следующее практическое правило: если в процессе эксперимента при замыкании ключа стрелка прибора магнитоэлектрической системы отклоняется в сторону шкалы, то одноименными являются зажимы, присоединенные к плюсу батареи и плюсу прибора.

№33 Сложная цепь с взаимной индуктивностью.

Пусть задана двухконтурная цепь, содержащая индуктивно связанные элементы (рис. 3.10). Для ее расчета необходимо составить три (по числу неизвестных токов) уравнения по законам Кирхгофа. Первое уравнение, для верхнего узла, затруднений не вызывает: I1+I2-I3=0

Рис. 33.1. Сложная цепь с взаимной индуктивностью

Еще два уравнения напишем по второму закону Кирхгофа для контуров, обозначенных закругленными стрелками I и II, показывающими направление обхода контура при написании уравнений. Но предварительно необходимо определить вид включения катушек. Для каждой их пары одноименные зажимы отмечены своими значками. Предположим, что это начала обмоток. Первая и вторая катушки, одноименные зажимы которых отмечены звездочками, включены встречно, так как в первой ток протекает от начала к концу, а во второй от конца к началу. Поставим для памяти рядом со стрелкой M 12 букву в (встречное включение). У второй и третьей катушек начала обмоток обозначены точками. В обеих катушках токи протекают одинаково относительно этих зажимов – от начала к концу, значит катушки включены согласно; ставим рядом со стрелкой букву с (согласное включение). Аналогично поступаем и с остальными катушками.

Записываем уравнение для первого контура:

Дадим некоторые пояснения. Напряжение на зажимах катушки, индуктивно связанной с другой катушкой, складывается из напряжения самоиндукции (IjωL) и напряжения взаимной индукции (IjωM). При согласном включении эти напряжения имеют одинаковые знаки, при встречном – разные. Для лучшего восприятия индексы у буквы M поставлены так, чтобы они указывали катушку, создающую магнитное поле (первый индекс), и катушку, в которой наводится ЭДС (второй индекс). Например, обозначение M 32 показывает, что мы определяем влияние третьей катушки на вторую. Рассмотрим составляющие напряжения на элементе L 2 . В уравнении (3.4) они объединены фигурной скобкой U L2 . Первое слагаемое -I2jωL – это напряжение самоиндукции. Оно записано с минусом, так как при обходе контура мы идем по этому элементу против тока. Второе слагаемое I1jωM 12 – это напряжение, наведенное на зажимах второй катушки магнитным потоком, создаваемым током первой катушки. Его знак (плюс) из-за встречного включения противоположен знаку напряжения самоиндукции. Напряжение, которое наводится во второй катушке со стороны третьей (I3jωM 32), имеет тот же знак (минус), что и напряжение самоиндукции, так как вторая и третья катушки соединены согласно.

Приводим уравнение, записанное для второго контура:

№34 Эквивалентная замена индуктивных связей.

Имеется возможность избежать составления таких сложных уравнений, как в предыдущем подразделе. Для этого нужно произвести так называемую развязку электрической цепи, заменив схему с индуктивно связанными элементами эквивалентной схемой без индуктивных связей. Делается это по следующему правилу: если два элемента L 1 и L 2 , имеющие взаимную индуктивность, присоединены к узлу электрической цепи одноименными зажимами, то при переходе к эквивалентной схеме к этим элементам добавляется –M, а в третью, отходящую от узла, ветвь включается M (рис. 34.1, а).

Если характер подключения катушек меняется, т.е. они присоединяются к узлу разноименными зажимами, то в эквивалентной схеме знак перед M меняется на противоположный (рис. 34.1, б).

Для доказательства приведенных утверждений необходимо в каждой паре схем произвольно указать направления токов (одинаковые для одной и той же ветви) и записать выражения напряжений U ab , U bc и U ca . Для обеих схем они оказываются одинаковыми, что подтверждает их эквивалентность.

№35 Трансформатор без стального сердечника.

Простейший трансформатор представляет собой совокупность двух обмоток, размещенных на общем магнитопроводе (рис. 35.1, а).

К его первичной обмотке подводится напряжение источника питания, а ко вторичной – подключается нагрузка. Одноименными зажимами обмоток являются их верхние выводы. Ток первичной обмотки I1 создает в магнитопроводе магнитный поток Ф1, который в свою очередь во вторичной обмотке вызывает появление тока I2. Создаваемый им магнитный поток Ф2 в соответствии с принципом Ленца препятствует потоку Ф1, т.е. направлен ему навстречу. Направление тока I2, соответствующее показанному на схеме потоку Ф2, определяем по правилу правой руки.

Мы будем рассматривать трансформатор, не имеющий ферромагнитного сердечника. Такие трансформаторы применяются при высоких частотах и в специальных электроизмерительных устройствах. Катушки с ферромагнитными сердечниками имеют нелинейные характеристики и здесь не рассматриваются.

Электрическая схема замещения трансформатора изображена на рис. 35.1, б. На схеме указаны: R1, X1, R2, X2 и – сопротивления первичной и вторичной обмоток трансформатора, R Н и X H – сопротивления нагрузки. Введем обозначения: R22=R2+R H и X22=X2+X H – суммарные активное и реактивное сопротивления вторичной цепи трансформатора, Z1=R1+jX1, Z2=R2+jX2, Z H =R H +jX H , Z22=R22+jX22 – комплексные сопротивления соответствующих участков.

Запишем уравнения второго закона Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора, учитывая, что его обмотки имеют встречное включение:

Обозначив I1jX M =E 2M , второе уравнение системы (35.1) можно записать так:

E 2M =I 2 Z 2 +I 2 Z =

Физически E 2M – это ЭДС, которая наводится во вторичной обмотке переменным магнитным полем первичной обмотки. С учетом этого уравнение можно прочитать так: ЭДС, наведенная во вторичной обмотке трансформатора, равна сумме падений напряжений на всех элементах его вторичного контура. Подставляя I 2 Z H =U 2 , получим: U 2 =E 2M -I 2 Z 2 . Смысл последнего уравнения заключается в следующем: напряжение на вторичных зажимах трансформатора меньше эдс, наведенной во вторичной обмотке, на величину падения напряжения на ее сопротивлении.

На рис. 35.2 изображена векторная диаграмма трансформатора. Ее построение начинаем со вторичного тока I2. Ориентируясь на его направление, проводим векторы напряжений на всех элементах вторичной цепи. Их сумма равна ЭДС E 2M . Так как в формуле, определяющей ее величину, присутствует множитель j, поворачивающий вектор на четверть оборота, то ток проводим под углом 90° к E 2M в сторону отставания. Определив направление I1, строим векторы I1R1 и I1jX1 , которые в сумме с I2jX M – дают U1.

Для анализа работы трансформатора применяют различные эквивалентные схемы. Рассмотрим некоторые из них.

Соединив между собой два нижних зажима трансформатора (режим его работы при этом не изменится) и произведя развязку индуктивных связей, придём к Т-образной эквивалентной схеме (рис. 35.3).

Из второго уравнения системы выразим ток I2 и подставим в первое уравнение той же системы:

Последнему выражению соответствует схема, изображенная на рис. 35.3. Соединенное последовательно с Z1 сопротивление Z BH называется вносимым (из вторичной цепи трансформатора в первичную).

Как следует из формулы, оно равно:

Его активная и реактивная составляющие соответственно равны:

Появление в первичном контуре активного сопротивления, вносимого из первичного контура, физически означает следующее. Энергия, подводимая к трансформатору, потребляется не только сопротивлением R1, но и сопротивлениями вторичной цепи R2 и R H , куда она передается через переменное магнитное поле между обмотками.

Из-за минуса в формуле вносимого реактивного сопротивления общее реактивное сопротивление всей цепи, равное сумме X1 и X BH , оказывается меньше индуктивного сопротивления первичной обмотки.

Это хорошо согласуется со сказанным ранее. При встречном соединении обмоток трансформатора поток Ф2, направленный противоположно потоку Ф1, уменьшает последний, что приводит к уменьшению общего индуктивного сопротивления.

№36 Трехфазная система.

Многофазной системой называется совокупность, состоящая из ”n” отдельных одинаковых электрических цепей или электрических схем, режимные параметры в которых (е, u, i) сдвинуты во времени на равные отрезки Δt=T/n или по фазе Δωt=2π/n=360°/n.

Отдельные части системы называются фазами. Термин ”фаза” в электротехнике имеет два смысловых значения: первое - как момент времени для синусоидальной функции тока или напряжения, второе - как часть многофазной системы. В технике нашли применение 2-х, 3-х, 6-и и более фазные системы. В электроэнергетике наибольшее распространение получила трехфазная система, обладающая рядом преимуществ перед системами с другим числом фаз.

Трехфазная система состоит из трех электрических цепей или электрических схем (фаз), параметры режима (u,i) в которых сдвинуты во времени на Δωt=2π/3=360°/3=120°. Отдельные фазы трехфазной системы согласно ГОСТ обозначаются (именуются) заглавными латинскими буквами А, В, С (основное обозначение), или цифрами 1, 2, 3 (допустимое обозначение), или заглавными латинскими буквами R, S, T (международное обозначение).

Не имеет значения, какую из трех фаз именовать какой буквой А, В или С, существенным является их порядок следования друг за другом во времени. Прямым порядком следования фаз называется А→В→С→А, при котором параметры режима (u, i) в фазе В отстают от аналогичных параметров в фазе А на 120°, а в фазе С - опережают на 120°. При обратном порядке следования фаз А→С→В→А параметры режима в фазе С отстают от аналогичных пара¬метров в фазе А на 120°, а в фазе В - опережают на 120°.

Если отдельные фазы системы работают изолировано и независимо друг от друга, то система называется несвязанной. Рассмотрим работу простейшей несвязанной трехфазной системы (рис. 36.1). Мгновенные значения фазных ЭДС генератора сдвинуты во времени на 120° в порядке следования фаз A→B→C→A:

e A =E m sinωt ↔ E A =Ee j0°

e B =E m sin(ωt-120°) ↔ E B =Ee -j120°

e C =E m sin(ωt-240°)=E m sin(ωt+120°) ↔ E C =Ee j120°

Графические диаграммы этих функций показаны на рис. 36.2, а векторные - на рис. 36.3.

Основное свойство любых переменных функций (е, u, i) в симметричной трехфазной системе состоит в том, что сумма их мгновенных значений в любой момент времени равна нулю, например, е А + е В + е С = 0. Найдем эту сумму для разных моментов времени:

Если нагрузка отдельных фаз равна между собой, т.е. Z A =Z B =Z C =Ze jφ , то фазные токи будут равны по модулю и сдвинуты по фазе относительно своих ЭДС (напряжений) на один и тот же угол φ, а между собой, как и ЭДС, будут сдвинуты по фазе на 120°. Следовательно, фазные токи i А, i В, i С образуют симметричную трехфазную систему и для них будут справед-ливы полученные ранее выводы: i А + i В + i С = 0; I А + I В + I С = 0.

Преобразуем несвязанную трехфазную систему в связанную путем объединения трех обратных приводов в один общий привод. Согласно 1-ому закону Кирхгофа в общем проводе должен протекать суммарный ток i N = i А + i В + i C = 0. Это означает, что потребность в обратном проводе вообще отпадает, благодаря чему достигается значительная экономия проводов при передаче энергии от трехфазного генератора к приемнику.

Достоинства (преимущества) трехфазной системы:

1) Передача энергии от генератора к потребителям трехфазным током наиболее выгодна экономически, чем при любом другом числе фаз. Например, по сравнению с двухпроводной системой достигается экономия проводов в два раза (3 провода вместо 6), соответственно уменьшаются потери энергии в проводах линии.

2) Трехфазная система позволяет технически просто получить круговое вращающееся поле, которое лежит в основе работы всех трехфазных машин (генераторов и двигателей).

3) Элементы трехфазной системы (генераторы, трансформаторы, двигатели) просты по конструкции, надежны в работе, имеют хорошие массогабаритные показатели, сравнительно дешевы, долговечны.

4) На выходе трехфазных генераторов имеется два уровня выходного напряжения – линейное и фазное, отличающиеся в √3 раз (Uл /Uф = √3), что позволяет подключать к такому генератору приемники с различными номинальными напряжениями.

Благодаря своим достоинствам трехфазная система применяется в электроэнергетике для производства, передачи, распределения и потребления электрической энергии.

Трехфазная система и ее основные звенья – генератор, трансформатор, линия элек¬тропередачи, двигатель – были разработаны в 1889 году инженером Доливо-Добровольским (фирма Сименс и Шукерт). Создание этой системы явилось важным событием в истории развития теоретической и прикладной электротехники.

№37 Способы соединения обмоток трехфазных генераторов.

В обмотках трехфазного генератора индуктируются синусоидальные ЭДС, сдвину¬тые по фазе на 120°:

e A =E m sinωt ↔ E A =E ф e j0°

e B =E m sin(ωt-120°) ↔ E B =E ф e -j120°

e C =E m sin(ωt-240°)=E m sin(ωt+120°) ↔ E C =E ф e j120°

Между собой фазные обмотки генератора могут соединяться по двум различным схемам: звездой (у) и треугольником (Δ).

При соединении в звезду концы фазных обмоток (фаз) генератора соединяются в общую точку N, которая называется нулевой или нейтральной, а начала обмоток служат линейными выводами генератора А, В, С (рис. 37.1).

Векторная диаграмма напряжений трехфазного генератора при соединении его фазных обмоток в звезду показана на рис. 37.2 а, б.

В трехфазном генераторе различают фазные и линейные напряжения. Фазными называются напряжения между началами и концами фазных обмоток или между одним из линейных выводов А, В, С и нулевым выводом N. Фазные напряжения равны фазным ЭДС: U А =Е А, U В =Е В, U С =Е С (индекс N при фазных напряжениях опускается, так как φ N = 0). Линейными называются напряжения между двумя линейными выводами А, В, С. Линейные напряжения равны векторной разности двух фазных напряжений: U АВ =U А - U В; U ВС =U В - U С; U СА =U С - U А.

При расчете трехфазных цепей комплексным методом фазные и линейные напряжения генератора представляются в комплексной форме, при этом один из векторов системы принимают за начальный и совмещают его с вещественной осью, а остальные вектора получают начальные фазы согласно их углам сдвига по отношению к начальному вектору. На рис. 37.2 а показан вариант представления напряжений трехфазного генератора в комплексной форме, когда за начальный вектор принимается фазное напряжение фазы А. В этом случае фазные напряжения генератора в комплексной форме получат вид: U A =U ф e j0° , U B =U ф e -j120° , U C =U ф e j120° , линейные напряжения: U AB =U л e j30° , U BC =U л e -j90° , U CA =U л e j150° .

На рис. 37.2 б показан другой вариант представления напряжений трехфазного генератора в комплексной форме, когда за начальный вектор принимается линейное напряжение U AB . В этом случае фазные напряжения генератора в комплексной форме получат вид: U A =U ф e -j30° , U B =U ф e -j150° , U C =U ф e j90° , линейные напряжения: U AB =U л e j0° , U BC =U л e -j120° , U CA =U л e j120° .

Из геометрии получаем соотношение между модулями линейного и фазного напряжений: U Л = 2U Ф cos 30° =2UФ √(3)/2 =√(3) UФ.

Обмотки трехфазного генератора теоретически можно включать по схеме треуголь¬ника. В такой схеме конец каждой предыдущей фазы соединяется с началом последующей, а точки соединения служат линейными выводами генератора (рис. 37.3).

При соединении фаз в треугольник в его контуре действует сумма фазных ЭДС: ∑e = е АВ + е ВС + е СА. В реальных трехфазных генераторах технически невозможно обеспечить равенство нулю для суммарной ЭДС. Так как собственные сопротивления обмоток генератора малы, то даже незначительная по величине суммарная ЭДС ∑e > 0 может вызвать в контуре треугольника уравнительный ток, соизмеримый с номинальным током генератора, что привело бы к дополнительным потерям энергии и снижению КПД генератора. По этой причине обмотки трехфазных генераторов запрещается соединять по схеме треугольника.

Номинальным напряжением в трехфазной системе называется линейное напряжение. Номинальное напряжение принято выражать в киловольтах (кВ). Шкала номинальных трехфазных напряжений, применяемых на практике, имеет вид: 0,4; 1,1; 3,5; 6,3; 10,5; 22; 35; 63; 110; 220; 330; 500; 750. На потребительском уровне номинальное трехфазное напряжение может указываться в виде отношения U Л ⁄U Ф, например: U Л /U Ф = 380 ⁄ 220 В.

№

I N =I A +I B +I C

I A +I B +I C =0

№38 Способы соединения фаз трехфазных приемников.

Приемники трехфазного тока могут подключаться к генератору по двум схемам – звезды (y) и треугольника (Δ). Как известно, на выходе трехфазного генератора получаются два напряжение (линейное и фазное), отличающиеся в Uл/Uф = √3 раз. С другой стороны каждый приёмник энергии рассчитан на работу при определенном напряжении, которое называется номинальным. Схема соединения фаз приемника должна обеспечить подключение его фаз номинальное фазное напряжение. Таким образом, выбор схемы соединения фаз трехфазного приемника зависит от соотношения номинальных напряжений приемника и генератора (сети).

Схема звезды применяется в том случае, если номинальное напряжение приемника соответствует (равно) фазному напряжению генератора. При соединении в звезду концы фаз приемника объединяются в одну точку “n”, называемую нулевой или нейтральной, а начала фаз подключаются к линейным выводам трехфазного генератора А, В, С линейными проводами. Если нулевая точка приемника “n” соединена с нулевой точкой генератора “N” нулевым проводом, то схема получила название звезды с нулевым проводом (рис. 38.1а). При отсутствии нулевого провода схема носит название звезды без нулевого провода (рис. 38.1б).

Токи, протекающие в линейных проводах по направлению от генератора к приемнику, называются линейными.

Токи, протекающие в фазах приемника по направлению от начал к концам, называются фазными. В схеме звезды фазы приемника включены последовательно с линейными проводами и по ним протекают одни и те же токи (I A , I B , I C). Поэтому для схемы звезды понятия линейные и фазные токи тождественны: I Л = I Ф.

Ток, протекающий в нулевом проводе от приемника к генератору, называется нулевым или нейтральным (I N).

Напряжения между началами и концами фаз приемника называются фазными (U An , U Bn , U Cn), а напряжения между началами фаз – линейными (U AB , U BC , U CA). Линейные напряжения приемника и генератора тождественно равны.

В схеме звезды с нулевым проводом (рис. 38.1а) к каждой фазе приемника подводится непосредственно фазное напряжение генератора (U AN = U An = U A , U BN = U Bn = U B , U CN = U Cn = U C), каждая из фаз при этом работает независимо друг от друга, а линейные (фазные) токи определяются по закону Ома:

Ток в нулевом проводе в соответствии с первым законом Кирхгофа равен геометрической сумме линейных (фазных) токов:

I N =I A +I B +I C

При симметричной нагрузке Z A =Z B =Z C ток в нулевом проводе I N =0 и, следовательно, надобность в нeм отпадает. Симметричные трехфазные приемники (например, трехфазные электродвигатели) включаются по схеме звезды без нулевого провода.

При несимметричной нагрузке относительная величина тока в нулевом проводе зависит от характера и степени не симметрии фазных токов. Как правило, трехфазные приёмники стремятся спроектировать по возможности близкими к симметричным, поэтому ток в нулевом проводе в реальных условиях значительно меньше линейных (фазных) токов.

схеме звезды без нулевого провода (рис. 38.1б) при любой нагрузке фаз должно выполняться условие первого закона Кирхгофа:

I A +I B +I C =0

Из уравнения следует вывод, что изменение одного из токов влечет изменение двух других токов, то есть отдельные фазы работают в зависимом друг от друга режиме. При несимметричной нагрузке потенциал нулевой точки приемника Un становится не равным нулю, он “смещается” на комплексной плоскости с нулевого положения, при этом фазные напряжения приемника (U An , U Bn , U Cn) не равны соответствующим фазным напряжениям генератора (U A , U B , U C), происходит так называемый перекос фазных напряжений приемника (рис. 38.2).

Расчет токов и напряжений в схеме звезды без нулевого провода выполняется в следующей последовательности.

Определяется напряжение (потенциал) нейтральной точки приемника по методу двух узлов:

где Z N - комплексное сопротивление нулевого провода, при его отсутствии Z N =∞.

Фазные напряжения приемника определяются как разности потенциалов соответствующих точек:

U An =U A -U n , U Bn =U B -U n , U Cn =U C -U n .

Фазные токи приемника определяются по закону Ома:

Комплексные мощности фаз приемника:

Режим работы приемника с перекосом фазных напряжений является ненормальным и может привести его к выходу из строя. По этой причине несимметричную трехфазную нагрузку запрещается включать по схеме звезды без нулевого провода (например, осветительную нагрузку).

Схема треугольника применяется в том случае, если номинальное фазное напряжение приемника соответствует (равно) линейному напряжению генератора. При соединении в треугольник конец каждой фазы соединяется с началом последующей, а точки соединения (вершины треугольника) подключаются к линейным выводам трехфазного генератора А, В, С линейными проводами (рис.38.3).

Токи, протекающие в фазах приемника по направлению от их начал к концам, называются фазными (I AB , I BC , I CA). Токи, протекающие в линейных проводах по направлению от генератора к приемнику, называются линейными (I A , I B , I C).

В схеме треугольника фазные и линейные напряжения приемника тождественно равны (U AB , U BC , U CA). В этой схеме к каждой фазе приемника подводится непосредственно линейное напряжение генератора, при этом отдельные фазы работают независимо друг от друга. Фазные токи определяются по закону Ома:

Линейные токи определяются из уравнений первого закона Кирхгофа для вершин треугольника, они равны геометрической разности фазных токов:

I A =I AB -I CA ; I B =I BC -I AB ; I C =I CA -I BC .

В симметричном режиме фазные и линейные токи симметричны, при этом отношение их модулей составляет IЛ/IФ = √3 .

При несимметричной нагрузке соотношение между линейными и фазными токами определяется уравнениями первого закона Кирхгофа. На рис. 38.4 показана векторная диаграмма токов и напряжений для произвольной трехфазной цепи при соединении фаз в треугольник.

№39 Расчет сложных трехфазных цепей.

Сложная трехфазная цепь, например, объединенная энергосистема, может содержать большое число трехфазных генераторов, линий электропередачи, приемников трехфазной энергии. Схема такой цепи представляет собой типичный пример сложной цепи переменного тока. Установившейся режим в такой схеме может быть описан системой алгебраических уравнений с ком-плексными коэффициентами, составленных по одному из методов расчета сложных цепей (метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов). Наиболее рациональным методом расчета таких трехфазных цепей является метод уз¬ловых потенциалов, при этом составление уравнений и их решение производится в матричной форме.

В более простых случаях возможно применение любых методов расчета, позволяющих получить экономичное решение задачи. На рис. 39.1 представлена схема параллельного подключения нескольких трехфазных приемников с различными схемами соединения фаз к одному генератору. В представленной схеме расчет фазных и линейных токов каждого из приемников может выполняться индивидуально и независимо друг от друга, а линейные токи источника определяются как геометрические суммы токов всех приемников, например, IA=I A1 +I A2 +I A3 .

Как известно, объединенная трехфазная энергосистема работает в режиме, близком к симметричному. В симметричном режиме токи и напряжения смежных фаз отличаются только углом сдвига на ±120º. Расчет токов и напряжений в установившемся симметричном режиме производится только для одной из фаз, например для фазы А, при этом трехфазные цепи представляются однофазными эквивалентными схемами. На рис. 39.2 представлена символьная схема передачи энергии от трехфазного генератора к удаленным приемникам, а на рис. 39.3 – расчетная однофазная схема для той же цепи. На расчетной схеме рис. 39.3 каждому звену электропередачи соответствует его стандартная схема замещения.

В результате расчетов определяются токи и напряжения во всех элементах схемы для фазы А, например I A =Ie jα . Аналогичные токи и напряжения в фазе В определяется умножением соответствующих величин фазы А на поворотный множитель e -j120° , а для фазы С – на множитель e j120° .

№40 Мощность трехфазной цепи и способы ее измерения.

Активная и реактивная мощности трехфазной цепи, как для любой сложной цепи, равны суммам соответствующих мощностей отдельных фаз:

где I A , U A , I B , U B , I C , U C – фазные значения токов и напряжений.

В симметричном режиме мощности отдельных фаз равны, а мощность всей цепи может быть получена путем умножения фазных мощностей на число фаз:

В полученных выражениях заменим фазные величины на линейные. Для схемы звезды верны соотношения Uф/Uл/√3, I ф =I л, тогда получим:

Для схемы треугольника верны соотношения: Uф=Uл; Iф=Iл / √3 , тогда получим:

Следовательно, независимо от схемы соединения (звезда или треугольник) для сим¬метричной трехфазной цепи формулы для мощностей имеют одинаковый вид:

В приведенных формулах для мощностей трехфазной цепи подразумеваются линейные значения величин U и I, но индексы при их обозначениях не ставятся.

Активная мощность в электрической цепи измеряется прибором, называемым ваттметром, показания которого определяется по формуле:

где U w , I w - векторы напряжения и тока, подведенные к обмоткам прибора.

Для измерения активной мощности всей трехфазной цепи в зависимости от схемы соединения фаз нагрузки и ее характера применяются различные схемы включения измерительных приборов.

Для измерения активной мощности симметричной трехфазной цепи при-меняется схема с одним ваттметром, который включается в одну из фаз и измеряет активную мощность только этой фазы (рис. 40.1). Активная мощность всей цепи получается путем умножения показания ваттметра на число фаз: P=3W=3U ф I ф cos(φ). Схема с одним ваттметром может быть использована только для ориентированной оценки мощности и неприменима для точных и коммерческих измерений.

Для измерения активной мощности в четырехпроводных трехфазных цепях (при на¬личии нулевого провода) применяется схема с тремя приборами (рис. 40.2), в которой произво¬дится измерение активной мощности каждой фазы в отдельности, а мощность всей цепи оп¬ределяется как сумма показаний трех ваттметров:

Для измерения активной мощности в трехпроводных трехфазных цепях (при отсутствии нулевого провода) применяется схема с двумя приборами (рис. 40.3).

При отсутствии нулевого провода линейные (фазные) ток связаны между собой урав¬нением 1-го закона Кирхгофа: I A +I B +I C =0. Сумма показаний двух ваттметров равна:

Таким образом, сумма показаний двух ваттметров равна активной трехфазной мощности, при этом показание каждого прибора в отдельности зависит не только величины нагрузки но и от ее характера.

На рис. 40.4 показана векторная диаграмма токов и напряжений для сим¬метричной нагрузки. Из диаграммы следует, что показания отдельных ваттметров могут быть определены по формулам:

Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы. При активной нагрузке (φ = 0), показания ваттметров равны (W1 = W2).

При активно-индуктивной нагрузке(0 ≤ φ ≤ 90°) показание первого ватт-метра меньше, чем второго (W1 < W2), а при φ>60° показание первого ваттметра становится отрицательным (W1<0).

При активно-емкостной нагрузке(0 ≥ φ≥ -90°) показание второго ватт-метра меньше, чем первого (W1 больше W2), а при φ(меньше)-60 ° показание второго ватт-метра становится отрицательным.

№41 Вращающееся магнитное поле.

Одним из важнейших достоинств трехфазной системы является возможность получения с ее помощью кругового вращающегося магнитного поля, которое лежит в основе работы трехфазных машин (генераторов и двигателей).

Для получения кругового вращающегося магнитного поля необходимо и достаточно выполнить два условия. Условие первое: необходимо 3p одинаковых катушки (p =1, 2, 3,….) расположить в пространстве так, чтобы их оси были расположены в одной плоскости и сдвинуты взаимно на равные углы ∆α=360°/3p. Условие второе: необходимо пропустить по катушкам равные по амплитуде и сдвинутые во времени на ∆t=T/3 или ∆ωt = 360°/3=120° переменные токи (симметричный трехфазный ток). При соблюдении указанных условий в пространстве вокруг катушек будет создано круговое вращающееся маг-нитное поле с постоянной амплитудой индукции В max вдоль его оси и с постоянной угловой скоростью вращения ωп.

На рис. 41.1 показано пространственное расположение трех (p = 1) одинаковых катушек под равными углами в 120° согласно первому условию.

По катушкам, по направлению от их начал (A, B, C) к концам (X, Y, Z) протекает симметричный трехфазный ток:

Магнитное поле, создаваемое каждой катушкой в отдельности, пропорционально току катушки (B = k*i), следовательно магнитные поля отдельных катушек в центре координат образуют симметричную трехфазную систему В(t):

Положительные направления магнитных полей каждой катушки (векторов B A , B B , B C) в пространстве определяются по правилу правоходового винта согласно принятым положительным направлениям токов катушек (рис. 41.1).

Результирующий вектор индукции магнитного поля B для любого момента времени может быть найден путем пространственного сложения векторов B A , B B , B C отдельных катушек. Определим значение результирующего вектора индукции магнитного поля B для нескольких моментов времени ωt = 0°; 30°; 60°. Пространственное сложение векторов вы¬полним графически (рис. 41.2а, б, в). Результаты расчета сведены в отдельную таблицу:

Анализ таблицы показывает, что результирующий вектор индукции магнитного поля B(t,x,y) имеет постоянную амплитуду (В max =3/2B m) и равномерно вращается в пространстве в положительную сторону по направлению катушки А к катушке В с угловой скоростью ωп, равной угловой частоте тока ω. В общем случае угловая скорость вращения магнитного поля зависит еще и от числа катушек:

В технике для характеристики вращения магнитного поля пользуются понятием частоты вращения: n=60f/p [об/мин]

С изменением числа p пространственная картина магнитного поля изменяется: при p=1 магнитное поле имеет два полюса (или одну пару полюсов), при p=2 – четыре полюса (или 2 пары полюсов) и т.д. (рис. 41.3). По этой причине число p = 1, 2, 3,… называют числом пар полюсов магнитного поля.

Частоту вращения магнитного поля можно изменять плавно изменением частоты питающего тока f, и ступенчато - изменением числа пар полюсов p. В промышленных условиях оба способа регулирования частоты вращения поля являются технически и экономически малоэффективными. При постоянной частоте промышленного тока f=50 Гц шкала синхронных частот вращения магнитного поля в функции числа пар полюсов выглядит следующим образом:

Для изменения направления вращения магнитного поля достаточно изменить порядок следования фаз питающего тока или, попросту, поменять местами две любые фазы источника между собой.

№42 Теоретические основы метода симметричных составляющих.

Метод симметричных составляющих применяется для расчета трехфазных цепей в несимметричных режимах. Несимметричные режимы в энергосистеме возникают при различных видах коротких замыканий. Расчет токов коротких замыканий – важная инженерная задача в электроэнергетике, которая решается методом симметричных составляющих.

Математически любая несимметричная трехфазная система векторных величин (напряжений, токов и др.) может быть представлена в виде суммы (заменена суммой) из трех симметричных трехфазных систем, а именно: а) системы прямой последовательности с прямым порядком следования фаз A→B→C→A; б) системы обратной последовательности с обратным порядком следования фаз A→C→B→A; в) системы нулевой последовательности, ко¬торая состоит из трех равных векторов, совпадающих по фазе. Отдельные симмет-ричные системы векторов, на которые раскладывается несимметричная сис-тема, называются сим¬метричными составляющими. Вектора симметричных составляющих индексируются цифрами: 1 - для прямой последовательности, 2 - для обратной последовательности и 0 – для нулевой последовательности.

На рис. 42.1 представлены симметричные составляющие некоторой несимметричной трехфазной системы напряжений U A ,U B ,U C .

В методе симметричных составляющих для упрощения формы записи уравнений пользуются коэффициентом a=e j120° (поворотный множитель), умножением на который поворачивают вектор на угол в 120° без изменения его модуля. Свойства поворотного множителя: a 2 =e j240° =e -j120° , a 3 =1, a 4 =a, 1+a+a 2 =0.

Вектора исходной несимметричной системы определяются по принципу наложения как геометрические суммы соответствующих векторов симметричных составляющих:

Геометрическое сложение векторов симметричных составляющих согласно этим уравнениям показано на рис. 42.2.

Используя поворотный множитель “a” и “a 2 ”, выразим все слагаемые правой части уравнений через симметричные составляющие фазы А:

Умножим все члены уравнения (2) на “a”, а все члены уравнения (3) на “a 2 ”, сложим все три уравнения почленно и получим:

Из полученного уравнения следует формула для выделения симметричной составляющей прямой последовательности из несимметричной системы векторов:

Умножим все члены уравнения (2) на “a 2 ”, а все члены уравнения (3) на “a”, сложим все три уравнения почленно и получим:

Из полученного уравнения следует формула для выделения симметричной составляющей обратной последовательности из несимметричной системы векторов:

Сложим все три уравнения (1), (2) и (3) почленно и получим:

Из полученного уравнения следует формула для выделения симметричной составляющей нулевой последовательности из несимметричной системы вектор:

Полученные формулы применяются на практике для разложения несимметричных трехфазных систем векторов на симметричные составляющие.

№43 Расчет режима симметричной трехфазной нагрузки при несимметричном напряжении.

Пусть к симметричному трехфазному приемнику, например электродвигателю, приложена несимметричная система напряжений U A , U B , U C . Для получения общих закономерностей введем в схему нулевой провод с сопротивлением Z N . Схема цепи примет вид (рис. 43.1):

Разложим несимметричную систему напряжений U A , U B , U C на симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей:

Применим к расчету схемы метод наложения и выполним расчет токов отдельно для каждой симметричной составляющей напряжения. Так как для каждой из симметричных составляющих трехфазная схема генератор-приемник полностью симметрична, то расчет ре¬жима можно выполнять только для одной фазы А, соответственно трехфазную схему следует заменить тремя однофаз¬ными отдельно для каждой составляющей (рис. 43.2а, б, в). В симметричном режиме для прямой и обратной последовательностей ток в нулевом проводе равен нулю и, следовательно, напряжение U nN =0. Это означает, что сопротивление в нейтраль¬ном проводе Z N не оказывает влияния на фазные токи и не должно включаться в схемы для этих последовательностей (рис. 43.2 а, б). Токи нулевой последовательности во всех фазах сов¬падают и могут замкнуться только через нулевой провод: I N = I A0 + I B0 + I C0 = 3I A0 . По 2-му закону Кирх¬гофа для нулевой последовательности (рис. 43.1) получим:

U A0 = I A0 Z 0 + I N Z N = I A0 (Z 0 + 3Z N)

Согласно полученному уравнению схема замещения для нулевой последовательности получит вид (рис. 43.2 в), в которой последовательно с сопротивлением фазы Z 0 включается утроенное сопротивление нейтрали 3Z N .

В схемах для отдельных симметричных составляющих (рис. 43.2 а, б, в) обозначены Z 1 , Z 2 , Z 0 - комплексные сопротивления фазы приемника для токов соответственно прямой, обратной и нулевой последовательностей. Для приемников с вращающимся магнитным полем эти сопротивления существенно отличаются.

По закону Ома в каждой из схем рис. 43.2а, б, в производится расчет токов прямой, обратной и нулевой последовательностей:

Действительные токи в исходной схеме (рис. 43.1) определяются по методу наложения, как векторные суммы токов прямой, обратной и нулевой последовательностей:

Комплексные сопротивления фаз статичных трехфазных приемников (осветительная нагрузка, нагревательные приборы и др.) не зависят от вида последовательности, для таких приемников Z 1 =Z 2 =Z 0 . Расчет токов таких приемников может выполняться обычными методами. Для трехфазных приемников, в которых существует вращающееся магнитное поле (электродвигатели, генераторы), сопротивления фаз для токов разных последовательностей существенно отличаются (Z 1 >Z 0 >Z 2). Расчет токов таких приемников при несимметричном напряжении должен производиться исключительно методом симметричных составляющих.

В цепях переменного тока все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Поэтому аналитические зависимости в виде уравнений не дают представления о реальных соотношениях величин. При переходе от оригиналов функций и параметров к их изображениям в виде комплексных чисел задача анализа несущественно упрощается, т.к., в отличие от цепей постоянного тока, где все величины однозначно характеризуются одним числом, в области изображений каждая величина определяется двумя числами, каждое из которых в общем случае недостаточно для полной оценки состояния цепи. Помочь в анализе соотношений между величинами и параметрами электрический цепи может их геометрическое представление в виде векторной диаграммы .

Из курса математики известно, что любое комплексное число может быть изображено в виде точки на плоскости с ортогональной системой координат, в которой на оси абсцисс откладывается вещественная составляющая, а на оси ординат мнимая. Такое изображение соответствует алгебраической форме записи комплексного числа. Если начало координат соединить отрезком прямой с точкой изображающей комплексное число, то длина этого отрезка и его угол с вещественной осью также могут служить изображением комплексного числа. Причем, для однозначного определения угла нужно задать положительное направление отрезка, т.е. определить его как радиус-векторили просто вектор .

Векторной диаграммой называется совокупность векторов на комплексной плоскости, соответствующая комплексным величинам и/или параметрам электрической цепи и их связям .

Векторные диаграммы могут быть точными и качественными. Точные диаграммы строятся с соблюдением масштабов всех величин по результатам численного анализа. Они предназначены в основном для проверки расчетов. Качественные векторные диаграммы строятся с учетом взаимных связей между величинами и обычно предшествуют расчету или заменяют его. В качественных диаграммах масштаб изображения и конкретные значения величин несущественны, важно только, чтобы в них были правильно отражены все связи между величинами, соответствующие связям и параметрам элементов электрической цепи. Качественные диаграммы являются важнейшим инструментом анализа цепей переменного тока .

В цепях переменного тока одной из самых распространенных задач является анализ поведения цепи при изменении в широких пределах какой-либо величины или параметра.

Пусть, например, требуется исследовать изменение тока в цепи, представленной на рис. 1 а), при постоянном напряжении на входе и изменении резистивного сопротивления в пределах 0 > R > µ .

Падение напряжения на входе уравновешивается суммой падений напряжения на R и L , т.е. u = u R +u L = Ri + Ldi /dt или для изображений

Из выражения (1) следует, что

векторы U R и U L всегда перпендикулярны друг другу, т.к. каждый из них представляет собой вектор тока I , умноженный на соответствующую константу (R или X L ), а в падении напряжения U L присутствует в качестве множителя оператор поворота на 90° - j ;
сумма векторов U R и U L постоянная и равна вектору U .

Для упрощения построений, не ограничивая в то же время общности рассуждений, совместим вектор U с вещественной осью (рис. 1 б)). Тогда в соответствии с условиями (1) при любых значениях R векторы U R и U L будут составлять с вектором U прямоугольные треугольники. Как известно, любой треугольник может быть вписан в окружность, причем дуги, на которые опираются углы вписанного треугольника равны двойному значению угла. Так как во всех векторных треугольниках угол между U R и U L равен 90° , то все они опираются на дугу в 180° , т.е. на диаметр, которым является постоянный вектор входного напряжения U . Следовательно, все треугольники векторов U R , U L и U вписываются в одну и ту же полуокружность, которая является геометрическим местом точек перемещения конца вектора U R при всех изменениях значения R .

Векторная диаграмма, в которой при вариации параметров геометрическим местом точек перемещения конца какого-либо вектора является окружность или полуокружность, называется круговой диаграммой .

Так как векторы U R и U L связаны с вектором тока I постоянными коэффициентами, то из круговой диаграммы вектора U R можно получить векторную диаграмму тока и она также будет круговой. Для получения вектора I , в соответствии с выражением (1), достаточно разделить все элементы треугольников U R , U L и U на R или jX L . При этом мы получим подобный треугольник, одним из катетов которого будет I . Однако деление на R нецелесообразно, т.к. эта величина переменная и для сохранения масштаба треугольников следует произвести деление на jX L . В результате диаметр полуокружности станет равным U /X L и она вследствие деления на оператор поворота j повернется относительно начала координат на угол - 90° (рис. 1 в) ). Полученная полуокружность и будет круговой диаграммой вектора входного тока I . Из нее можно заключить, что при R = 0 вектор тока отстает от напряжения на 90° и по модулю равен U /X L . При R ® µ модуль и аргумент вектора тока стремятся к нулю.

Другой важной разновидностью векторных диаграмм являются линейные диаграммы.

Линейной диаграммой называется векторная диаграмма, в которой геометрическим местом точек конца какого-либо вектора при вариации параметра является прямая линия .

Примером такой диаграммы может служить диаграмма входного тока I пассивного двухполюсника при постоянном напряжении на входе U =const и изменении его реактивной проводимости в пределах - µ > B > +µ , если активная составляющая проводимости G остается постоянной. Примером электрической цепи с такой вариацией реактивной проводимости является параллельный резонансный контур при вариации частоты 0 < w <µ .

Действительно, активная составляющая тока любого двухполюсника равна I а =GU , а реактивная I р =jBU , т.е. эти составляющие всегда перпендикулярны друг другу или, иначе говоря, находятся в квадратуре, т.к. являются производными от одного и того же вектора U , но I р содержит оператор поворота на 90° - j . Входной ток представляет собой сумму активной и реактивной составляющих I = I а + I р , причем, активная составляющая отличается от вектора U постоянным вещественным множителем G , поэтому всегда совпадает с ним по фазе (рис. 2 б)) и имеет постоянный модуль. Вектор реактивной составляющей имеет переменный модуль - µ < | I р | < + µ и I а ^ I р, следовательно, он будет располагаться на прямой проходящей через начало координат перпендикулярно вектору U . Поэтому суммарный вектор входного тока I при изменении реактивной проводимости будет скользить своим концом по линии перпендикулярной векторам I а и U и проходящей через конец вектора I а.

Для качественного анализа электромагнитных процессов в электрической цепи переменного тока можно строить векторные диаграммы, пользуясь только принципиальной схемой.

Построим качественную векторную диаграмму для цепи рис. 3.

Построение всегда можно начинать с произвольно выбранной величины, но т.к. операции суммирования векторов производятся проще, чем операции разложения на составляющие, то лучше в качестве начального вектора выбирать напряжение или ток элемента цепи, расположенного как можно дальше от входа. Тогда входные величины будут получены постепенным сложением векторов.

Пусть вектор тока I 5 расположен так, как это показано на рис. 3. Ток I 5 протекает в емкости C 2 , подключенной к узлам b и c цепи. Поэтому U bc =U C 2. Но падение напряжения на емкости отстает от тока в ней на 90° , следовательно, U bc нужно расположить на луче перпендикулярном вектору I 5 и смещенном в сторону отставания, т.е. по часовой стрелке.

Между узлами b и c помимо емкости C 2 включена ветвь, содержащая резистор r и индуктивность L . Ток в активно-резистивном двухполюснике отстает от напряжения на некоторый угол j , конкретное значение которого определяется отношением индуктивного сопротивления w L к резистивному r . Поэтому конец вектора тока I 4 в r -L ветви рис. 3 может находиться в любой точке сектора комплексной плоскости в 90° , ограниченного лучом совпадающим по направлению с U bc и перпендикулярным ему лучом, смещенным в сторону отставания. Зададим произвольно точку конца вектора I 4 в этом секторе. Тогда падение напряжения на резисторе r должно совпадать по направлению с I 4 , а падение напряжение на индуктивности L - опережать I 4 на 90°, причем в сумме U r и U L должны быть равны U bc . Построение векторов U r и U L , удовлетворяющих этим условиям, проще всего произвести проектированием конца вектора U bc на направление вектора I 4 . Тогда вектор, совпадающий с I 4 по направлению, будет U r , а перпендикулярный ему - U L .

Уравнение Кирхгофа для узла b цепи можно записать в виде I 3 = I 4 + I 5 , поэтому сложение векторов I 4 и I 5 по правилу параллелограмма даст нам вектор тока I 3 , протекающего в резисторе R рис. 3 . Падение напряжения на нем U R = U ab , как у любого резистора, будет совпадать по фазе с током, следовательно, его можно построить на луче совпадающем по направлению с I 3 .

По второму закону Кирхгофа разность потенциалов U ac можно представить суммой U ac = U ab + U bc = U . Соответственно, вектор входного напряжения U получается сложением по правилу параллелограмма векторов U ab и U bc рис. 3 . Но U ac = U С1 . Следовательно, ток в емкости C 1 должен опережать напряжение U ac на 90° , поэтому его нужно построить на луче перпендикулярном U ac и смещенном в сторону опережения.

Для узла a цепи справедливо I 1 = I 2 + I 3 . В соответствии с этим равенством входной ток I 1 получен геометрическим суммированием векторов I 2 и I 3 .

Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

Точные;

Качественные.

Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин.

i = Im sin (ω t + φ).

Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков - векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.

Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.

Различают 2-х вида векторных диаграмм:

Точные;

Качественные.

Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.

Качественные диаграммы изображаются с учетом взаимных соотношений между электрическими величинами, без указания численных характеристик. Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.

Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY - оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе. Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется. Поэтому при изображении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольным образом (например, по оси ОХ). А остальные - изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.

Допустим у нас есть , величина которого изменяется по некоторому закону:

i = Im sin (ω t + φ).

С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол - соответствующий фазе φ. Проекция вектора на вертикальную ось и определяет значение мгновенного тока в начальный момент времени.

В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений - масштабом, поскольку: I = Im /√2.

Основным преимуществом векторных диаграмм называют возможность простого и быстрого сложения и вычитания 2-х параметров при расчете электроцепей.

Токи ветвей находятся сразу:

2. Символический метод.

Раньше были получены следующие формулы:

Подставляя их в уравнение первого закона Кирхгофа, получаем:

№24 Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока. Эквивалентные сопротивления и проводимости.

Получим условия эквивалентности приведенных схем.

т.е. в любой электрической цепи полная проводимость есть величина, обратная полному сопротивлению.

Формулы перехода от последовательной эквивалентной схемы к параллельной:

Формулы перехода от параллельной эквивалентной схемы к последовательной:

№25 Закон Ома в символической форме для произвольной цепи.

а их отношение определяет комплексное сопротивление двухполюсника:

Величина, обратная комплексному сопротивлению – комплексная проводимость:

№26 О расчете цепей синусоидального тока.

№27 Явление резонанса в электрических цепях.

Определяем комплексную проводимость цепи. Она равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

Приравнивая к нулю выражение, стоящее в круглых скобках, получаем:

Схеме на рис. 27.3, б соответствует векторная диаграмма, приведенная на рис. 27.4

№28 Энергия и мощность в цепи синусоидального тока.

Пусть ток и напряжение на входе произвольного пассивного двухполюсника описываются выражениями:

Подставляя их в формулу ранее и интегрируя, получаем:

P=UIcos(φ)

Рассмотрим теперь энергетические процессы, происходящие в отдельно взятых элементах.

Для энергии магнитного поля W M и электрического поля W Э можно записать следующие формулы:

Для вычисления реактивной мощности можно написать цепочку формул:

Комплексная мощность определяется произведением комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока:

№29 Явление взаимной индукции.

Аналогичное уравнение можно записать и для второй катушки.

№30 Последовательное соединение индуктивно связанных элементов.

Входное комплексное сопротивление цепи получим из совместного рассмотрения трех последних уравнений:

где Z1 и Z2 – комплексные сопротивления катушек, а Z M – комплексное сопротивление взаимной индукции:

На рис. 30.1 изображены векторные диаграммы, построенные по уравнениям (30.1) и (30.2).

№31 Параллельное соединение индуктивно связанных элементов.

Входное комплексное сопротивление цепи равно отношению напряжения к току на ее зажимах:

№32 Разметка зажимов индуктивно связанных катушек.

№33 Сложная цепь с взаимной индуктивностью.

Рис. 33.1. Сложная цепь с взаимной индуктивностью

Записываем уравнение для первого контура:

Приводим уравнение, записанное для второго контура:

№34 Эквивалентная замена индуктивных связей.

№35 Трансформатор без стального сердечника.

Обозначив I1jX M =E 2M , второе уравнение системы (35.1) можно записать так:

E 2M =I 2 Z 2 +I 2 Z =

Для анализа работы трансформатора применяют различные эквивалентные схемы. Рассмотрим некоторые из них.

Из второго уравнения системы выразим ток I2 и подставим в первое уравнение той же системы:

Как следует из формулы, оно равно:

Его активная и реактивная составляющие соответственно равны:

№36 Трехфазная система.

e A =E m sinωt ↔ E A =Ee j0°

e B =E m sin(ωt-120°) ↔ E B =Ee -j120°

e C =E m sin(ωt-240°)=E m sin(ωt+120°) ↔ E C =Ee j120°

Графические диаграммы этих функций показаны на рис. 36.2, а векторные - на рис. 36.3.

Достоинства (преимущества) трехфазной системы:

№37 Способы соединения обмоток трехфазных генераторов.

В обмотках трехфазного генератора индуктируются синусоидальные ЭДС, сдвину¬тые по фазе на 120°:

e A =E m sinωt ↔ E A =E ф e j0°

e B =E m sin(ωt-120°) ↔ E B =E ф e -j120°

e C =E m sin(ωt-240°)=E m sin(ωt+120°) ↔ E C =E ф e j120°

№

I N =I A +I B +I C

I A +I B +I C =0

№38 Способы соединения фаз трехфазных приемников.

Токи, протекающие в линейных проводах по направлению от генератора к приемнику, называются линейными.

Ток, протекающий в нулевом проводе от приемника к генератору, называется нулевым или нейтральным (I N).

I N =I A +I B +I C

I A +I B +I C =0

Расчет токов и напряжений в схеме звезды без нулевого провода выполняется в следующей последовательности.

Определяется напряжение (потенциал) нейтральной точки приемника по методу двух узлов:

где Z N - комплексное сопротивление нулевого провода, при его отсутствии Z N =∞.

Фазные напряжения приемника определяются как разности потенциалов соответствующих точек:

U An =U A -U n , U Bn =U B -U n , U Cn =U C -U n .

Фазные токи приемника определяются по закону Ома:

Комплексные мощности фаз приемника:

I A =I AB -I CA ; I B =I BC -I AB ; I C =I CA -I BC .

В симметричном режиме фазные и линейные токи симметричны, при этом отношение их модулей составляет IЛ/IФ = √3 .

№39 Расчет сложных трехфазных цепей.

№40 Мощность трехфазной цепи и способы ее измерения.

где I A , U A , I B , U B , I C , U C – фазные значения токов и напряжений.

Для схемы треугольника верны соотношения: Uф=Uл; Iф=Iл / √3 , тогда получим:

где U w , I w - векторы напряжения и тока, подведенные к обмоткам прибора.

№41 Вращающееся магнитное поле.

По катушкам, по направлению от их начал (A, B, C) к концам (X, Y, Z) протекает симметричный трехфазный ток:

В технике для характеристики вращения магнитного поля пользуются понятием частоты вращения: n=60f/p [об/мин]

№42 Теоретические основы метода симметричных составляющих.

Геометрическое сложение векторов симметричных составляющих согласно этим уравнениям показано на рис. 42.2.

Сложим все три уравнения (1), (2) и (3) почленно и получим:

№43 Расчет режима симметричной трехфазной нагрузки при несимметричном напряжении.

U A0 = I A0 Z 0 + I N Z N = I A0 (Z 0 + 3Z N)

Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании электронных цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.

Векторные диаграммы являются совокупой векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи либо их амплитудные значения.

Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением u = U m sin (ωt + ψ и ).

Расположим под углом ψ и относительно положительной оси абсцисс х вектор U m , длина которого в произвольно избранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис. 1). Положительные углы будем откладывать в направлении против вращения часовой стрелки, а отрицательные - по часовой стрелке. Представим, что вектор U m , начиная с момента времени t = 0, крутится вокруг начала координат против часовой стрелки с неизменной частотой вращения ω , равной угловой частоте изображаемого напряжения. В момент времени t вектор Um оборотится на угол ωt и будет размещен под углом ωt + ψ и по отношению к оси абсцисс. Проекция этого вектора на ось ординат в избранном масштабе равна моментальному значению изображаемого напряжения: u = U m sin (ωt + ψ и ).

Рис. 1. Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора

Как следует, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором . При исходной фазе, равной нулю, когда u = 0 , вектор U m для t = 0 должен быть размещен на оси абсцисс.

График зависимости хоть какой переменной (в том числе и гармонической) величины от времени именуется временной диаграммой . Для гармонических величин по оси абсцисс удобнее откладывать не само время t, а пропорциональную ему величину ω t . Временные диаграммы стопроцентно определяют гармоническую функцию, потому что дают представление о исходной фазе, амплитуде и о периоде.

Обычно при расчете цепи нас заинтересовывают только действующие ЭДС, напряжения и токи либо амплитуды этих величин, также их сдвиг по фазе относительно друг дружку. Потому обычно рассматриваются недвижные векторы для некого момента времени, который выбирается так, чтоб диаграмма была приятной. Такая диаграмма именуется векторной диаграммой . При всем этом углы сдвига по фазе откладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительные, и в оборотном направлении, если они отрицательные.

Если, к примеру, исходный фазовый угол напряжения ψ и больше исходного фазового угла ψi то сдвиг по фазе φ = ψ и — ψ i и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока.

При расчете цепи переменного тока нередко приходится ложить ЭДС, токи либо напряжения одной и той же частоты.

Представим, что требуется сложить две ЭДС: e 1 = E 1 m sin (ωt + ψ 1e )и e 2 = E 2m sin (ωt + ψ 2e ).

Такое сложение можно выполнить аналитически и графически. Последний метод более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е 1 и е 2 в определенном масштабе представлены векторами E 1 m E 2m (рис. 2). При вращении этих векторов с одной и той же частотой вращения, равной угловой частоте, обоюдное размещение крутящихся векторов остается постоянным.

Рис. 2. Графическое сложение 2-ух синусоидальных ЭДС схожей частоты

Сумма проекций крутящихся векторов E 1 m и E 2m на ось ординат равна проекции на ту же ось вектора E m, являющегося их геометрической суммой. Как следует, при сложения 2-ух синусоидальных ЭДС одной и той же частоты выходит синусоидальная ЭДС той же частоты, амплитуда которой изображается вектором E m , равным геометрической сумме векторов E 1 m и E 2m: E m = E 1 m + E 2m .

Векторы переменных ЭДС и токов являются графическими изображениями ЭДС и токов в отличие от векторов физических величин, имеющих определенное физическое значение: вектора силы, напряженности поля и других.

Обозначенный метод можно применить для сложения и вычитания хоть какого числа ЭДС и токов одной частоты. Вычитание 2-ух синусоидальных величин можно представить в виде сложения: e 1 — e 2 = e 1 + (- e 2), т. е. уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с оборотным знаком. Обычно векторные диаграммы строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС и токов, а для действующих величин, пропорциональных амплитудным значениям, потому что все расчеты цепей обычно производятся для действующих ЭДС и токов.

Школа для электрика